第1个回答 2019-12-03
1.
设x=√2sinα,y=√2cosα
x²+2xy-y²
=2sin²α+4sinαcosα-2cos²α
=1-cos2α
+
2sin2α
-1-cos2α
=2(sin2α-cos2α)
=2√2
sin(2α-π/4)
最大值为2√2
2.
原点为O，所求圆的圆心在线段OP的延长线上，设坐标为K(4m,3m),m>0
则PK=1，根据两点距离公式算出m=6/5
所以，圆心坐标为(25/5,18/5)，而半径r=1已知,写出圆方程即可。
3.
截得弦长为2，则半弦长为1，圆半径为2，则圆心距离直线l距离为√3
设直线方程为y-3=k(x-√3)，圆心(0,0)到直线距离为√3，根据点到直线距离公式列方程求出k即可
4.
设第三个顶点C坐标为(m,
(2m+5)/3)，而AB中点M坐标为(0,0)，重心G分CM比例为2:1，可求得G点坐标为(m/3,
(2m+5)/9)，即参数式方程为
x=m/3－－－－－①
y=(2m+5)/9－－－②
若题目中未说明ABC为直角三角形，只要保C点不在x轴上，即m不等于-5/2即可。
题目中说明ABC为直角三角形，就要进一步求m的具体值
分三种情况讨论：
a.A为直角
则C点在直线2x-3y+5=0上，且其横坐标与A点相同，即m=-2代入①②即可求得G点坐标(-2/3,1/9)
b.B为直角
则C点在直线2x-3y+5=0上，且其横坐标与B点相同，即m=2代入①②即可求得G点坐标(2/3,1)
c.C为直角
则C点在直线2x-3y+5=0上，且C点应在以AB为直径的圆上(保证AC⊥BC)
以AB为直径的圆方程为x²+y²=4，与直线方程2x-3y+5=0联立求得C点坐标，即可确定m的值，进一步求得G点的两种情况下的坐标。
另外，也可以用向量的思想来解
向量AB=(4,0)
向量BC=(m-2,
(2m+5)/3)
向量AC=(m+2,
(2m+5)/3)
根据是直角三角形可知
AB·BC=0或AB·AC=0或BC·AC=0，解向量即可求得m的值。
总共有4个解。