现今，模型这一概念的重要性和普及性正在日趋增长。除了科学、教育和传统的工程领域，诸如软件开发领域，近十年对模型的重视也有空前的提升。随着计算机技术的普及和应用，模型的重要性前所未有地提升。例如本论坛关注的另一个重要领域，企业（或业务）建模的领域，也是在这样的背景之下。在《 模型（model）概念的一些近义或相关语汇 》中，我从词义的角度讨论了“模型”（models）的一些近义或相关词汇。一些近义词，例如“模子”（mould）、模特、型号、典型（archetype），本身就可以理解为某一类的模型。但多数常见和基本的模型分类，并未明确地包含在这些近义中，有许多相当不同的事物，被人们称为模型。虽然其中有一些看似相差甚远，但我们希望找到一些线索和理由，最终理解它们为什么都被称为模型。
从日常生活和学习的角度看，最常见的模型，是“比例模型”（scale models）或实物模型。它们是一些按原物比例缩小（或放大）物体。例如，各式的建筑模型、飞机模型、汽车模型、沙盘模型、生物器官模型、分子或晶体结构模型等。看起来，这一类模型似乎十分明确、易于识别，但也不难发现一些令人困惑例子。例如：
“物理模型”（physical models）和“数学模型”（mathematical models）是科学研究领域常见的模型划分，也是学术研究中讨论模型概念时，最重视的基本类型。
对物理模型最基本的理解，是物质的实体，与其目标实体具有某种相似性。相似性和“成比例”，虽然有关系，亦有不同。将前面所说的比例模型，归入物理模型，似乎异议不大，但反过来，若说所有的物理模型都与其目标物具有某种比例关系，就不那么容易判断了。
数学模型，也许可以比喻为科学殿堂上的皇后。数学模型的基本形式是方程式。如果仅仅在这个意义下解释，这个概念似乎相当明确，没有什么暧昧之处。但从“数学的”意义上稍加延伸，就会出现一些问题。例如：
在数理逻辑分支“模型论”（Model Theory）中，将形式语言的陈述（句子集合）称为“理论”（theory），而该理论的模型（model），是一种数学结构（structure），它能够“解释”（interpret）理论中的句子，令它们都成立。换言之，模型论中的模型，是满足其理论的解释，是一种数学结构。这个“解释”（interpretation），也就是中文所说方程式的“解”。例如：对于理论“x + y = 1”，{1, 0}, {0.2, 0.8 }, {-1, 2} 等等，都是其解，也就是其模型。
数理逻辑模型的概念与一般意义的“数学模型”、“理论模型”的区别，并不应看作一种偶然的用语巧合或引申使用造成的矛盾。在更广泛的意义上考察模型及其使用之后，我认为，模型论无疑是关于模型的一般性理论最重要的数学基础之一。一些近期的研究（例如在本体、语义网领域的一些研究）也可以发现一些端倪。
也许在许多研究者心目中，数学模型是精确、严格的数学语言的运用。但透过模型论，我们可以理解到，e=mc^2这样纯数学表达，与“张三今年 30 岁”这样的自然语言陈述相同的一面。它们都是一个语言上的陈述，其意义（是否成立），可以通过对应的结构（模型论模型）加以解释。
前面提到，在科学领域常所说的“数学模型”（表现为方程式）和“理论模型”，既有联系也有区别。其中的困惑之一，就在于一个“理论”到底意味着什么？许多情况下，科学家可能会强调，精确的理论，就是数学描述，此时，说“理论模型”，基本等同于“数学模型”，但也有很多理论，未必呈现为“方程式”，或者，除了方程式，相关的语言陈述也是不可省略的。更典型的，一种理论，不但需要有某些语言的陈述、方程式，还需要某种“想象的图景”——这样的情形，在理论物理学领域司空见惯。
从模型论的立场上，可以这样说明：一般科学领域所说的模型，至少有两种基本类型，一种是数学陈述，它们在模型论中属于“理论”。一种是某种特定的结构，它们在模型论中，属于理论的解释，是“结构/模型”。同时，在一般科学领域，这两种模型，又都可以称为理论（或理论的组成部分）。换言之，科学领域常用的词语“模型”、“理论”，都是相对意义上的，视其具体对象而定。二者的对应关系，则都可以基于模型论中的“理论-模型”对应关系来理解。例如前面“电子云”的例子：所谓电子云，实际上就是对量子力学关于电子在原子核周围分布概率的“解”的形象称谓，并且常常被具体的画出来。从模型论立场看，电子密度分布函数是“理论”，电子云是其解，即模型，是一种结构。当我们笼统地将“电子云”称为一种理论模型时，既包括其数学描述（方
程式），也可包括这个数学描述的解。在宏观领域，“黑洞”是与此相似的例子。
许多对模型的分类，都把各种“图画”或“图像”归为模型的一个基本类别（这里是泛指各种图画、图像、图形等等，英文中，有 pictures, drawiings, paintings, graphics 等等）。作为模型，就和种种“图画”的近义语一样麻烦。
描述性模型（descriptive models）这种说法常被提到，在不同的场合，其所指可能有非常大的差别，关键就在于什么是“描述”。这涉及了对模型的一种基本理解，即它是对目标物构成某种描述。
一些关于模型的定义，运用了“同态”（homomorphism）映射这一数学概念。有人把具有同态对应的模型，直接称为“同态模型”。这种思路应该说源于模型讨论中的另一种更普遍的思路，即“相似性”。从数学应用的角度，以同态作为相似性的数学模型（或解释），似乎已经普遍接受。作为模型的研究，我们特别有兴趣的一个地方，是同态与模型论的关系。关于这个课题，在《认知结构三角模型及映像、模型与理论概念》中有初步的涉及。
本文并没有试图对现有的模型的分类进行汇总——这个工作，实际上相当庞大。选取讨论的几种模型，也未必都是最有代表性或最重要的。许多重要的模型类型未有提及。例如“计算机模型”：这是个含糊的说法，可包括各种基于计算机储存、显示的模型，计算机可处理的模型、对计算机系统或对象建立的模型、对计算机所处理的问题建立的模型、处理问题的方法/算法模型等等。一种看来相当明显的趋势就是，计算机技术的出现，使模型的重要性和作用空前提升。这不仅仅是一种模型的表达方式、支持技术或使用领域的扩展，这背后有着深远的理论乃至哲学内涵。
许多学者都认为，“模型”在科学、哲学等领域是相当重要的概念，但同时它也相当暧昧，人们对模型的认识，还存在诸多空白。人们迄今并没有关于模型的，公认的一般性理论体系。甚至还没有普遍接受的、明确的分类。
本文选取了一些常见或典型的模型类型加以简单讨论。通过这些简单分析可以看到，“模型”一词在不同的语境之中，有着相当不同的含义。不同的分类，常常相互重叠甚至矛盾。在对多种多样的模型的观察、讨论中，我们发现，模型论的模型概念，虽然与日常习惯中的模型概念有很大不同，但它可能是认识、理解一般模型，将各种各样不同的模型联系起来的基础。而相关的另一个重要的数学基础，同态，在“模型”的应用上与模型论的关系，将是一个非常有趣，可能还有待澄清的课题。这个课题需要相当的数学基础，很希望能得到相关数学领域学者关注，与感兴趣的朋友共同探讨。
有可能在各种不同语境中相当不同的模型概念之上，提炼出一些更加基本的东西，譬如关于什么是模型更一般的理解与界定。
在实际应用和讨论的经验中发现，对模型概念的习惯或狭隘理解，常常阻碍对模型应用或建模问题的认识。本文的讨论，也许能对此有所帮助，并作为日后导入一般性模型概念的一个引子。
原发: 企业工程论坛，2010-06-11,
http://www.ee-forum.org/wp/pub/ty/2010-06-p1152.html （修改了文中链接）
作者印：dcb442