第1个回答 2019-11-26
一、 椭圆的几何性质
变元范围
由椭圆的标准方程 （a>b>0）知｜x｜≤a,｜y｜≤b,说明椭圆位于直线 和 所围成的矩形里.
对称性及中心
1）判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据
若把方程中的x换成－x,方程不变,则曲线关于y轴对称.
若把方程中的y换成－y,方程不变,则曲线关于x轴对称.
若把方程中的x、y同时换成－x、－y,方程不变,则曲线关于原点对称.
2）椭圆关于x轴、y轴对称也关于原点对称
对于椭圆标准方程,把x换成－x,或把y换成－y,或把x、y同时换成－x、－y方程都不变,所以图形关于x轴、y轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是椭圆的对称轴；原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
顶点及长短轴
1）椭圆的顶点
椭圆 （a>b>0）和它的对称轴有四个交点 (－a,0)、 (a,0)、 (0,－b)、 (0,b),这四个交点叫做椭圆的顶点.
2）椭圆的长轴、短轴
线段 叫做椭圆的长轴,它的长为2a,a叫做椭圆的长半轴长.
线段 叫做椭圆的短轴,它的长为2b,b叫做椭圆的短半轴长.
离心率
椭圆的焦距与长轴长的比 ,叫做椭圆的离心率.
离心率的取值范围是：0＜e＜1.
e越接近1,则c就越接近a,从而 越小,因此椭圆越扁；反之,e越接近于0,c就越接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆.
当且仅当a=b时,c=0,这时两个焦点重合,图形这时就变为圆,因此方程即为x2+y2=a2.
上述e的数量的变化,反映了椭圆的扁平程度,如果两焦点与原点重合,即a=b,则c=0,图形发生质的变化就不再是椭圆,成为圆x2+y2=a2.
准线方程
1）椭圆 （a>b>0）的准线方程为：；
2）椭圆 （a>b>0）的准线方程为：；
3）两准线间的距离为 .
焦半径公式
1）椭圆的焦半径公式
若P（x,y）是椭圆上任一点,F1,F2是椭圆 （a＞b＞0）的左焦点和右焦点.则：｜PF1｜＝a＋ex,｜PF2|＝a－ex；
若P（x,y）是椭圆上任一点,F1,F2是椭圆 （a＞b＞0）的下焦点和上焦点,则｜PF1｜＝a＋ey,｜PF2|＝a－ey.
（1）如图(1)所示.
（2）如图(2)所示：
2）在求过焦点的椭圆的弦长时,利用焦半径公式非常简捷.
设弦AB,其中A（x1,y1）,B（x2,y2）,若AB过焦点F1,则｜AB｜＝｜AF1｜＋
｜BF1｜＝2a＋e（x1＋x2）.
3）椭圆的通径
定义：经过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称轴的弦P1P2,叫做椭圆的通径.
公式：.
二、 椭圆的参数方程
椭圆 （a>b>0）的参数方程为：.
参数方程中的a、b即是椭圆标准方程中的a、b,常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.
另外 的含义为：
如图,以原点为圆心,分别以a,b (a>b)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过A点作AN⊥ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,设点M的坐标是（x,y）,是以ox为始边,OA为终边的正角.点M的轨迹为一椭圆.
三、 直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系为相交、相切和相离.
直线与椭圆相交时可能是一个交点,即相切；也可能是两个交点.
直线与椭圆相切时,椭圆上一点M（ ,）处的切线为 ；与椭圆相切,斜率为k的切线为 .
四、 椭圆系
共焦点的椭圆系的方程为
（其中k>c2,c为半焦距）
具有相同离心率的标准椭圆系的方程为
.
具体请看下面的连接