第1个回答 2024-05-25
1. 求空间曲线在点(1,1,1)的切线和法平面，首先分析曲线方程。观察到曲线方程可以看作是两个曲面的交线，这种形式被称为曲线的一般方程，也称作交面式曲线方程。
2. 观察曲面方程：第一个方程表示一个球面，第二个方程是一个标准的空间平面方程。点(1,1,1)同时位于这两个平面上。
3. 分别求两个平面在点(1,1,1)的法向量。将曲面的标准方程转换为隐式方程，即F(x^2-3x,y^2,z^2)和G(2x,-3y,5z)，它们在点(1,1,1)的法向量如图片所示。
4. 求曲线在点(1,1,1)的方向向量。曲线方向向量之积即为切线方向向量，结果如图片所示。
5. 写出曲线在点(1,1,1)的切线方程的点向式。已知点向式方程后，可求出法平面方程，如图片所示，记得化简至最简形式。这种形式是曲面的一般方程形式。
拓展资料：
1. P和Q是曲线C上邻近的两点，P为定点，当Q点沿曲线C无限接近P点时，割线PQ的极限位置PT称为曲线C在点P的切线，P点称为切点。经过切点P且垂直于切线PT的直线PN称为曲线的法线。
2. 说明：在平面几何中，与圆只有一个公共交点的直线称为圆的切线。这种定义不适用于一般的曲线。PT是曲线C在点P的切线，但可能与曲线C还有其他交点。相反，直线l即使只与曲线C有一个交点，也不一定是曲线C的切线。
（资料来源：百度百科：切线）详情