第4个回答 推荐于2016-12-01
三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法．
1、根据周期性函数的定义求三角函数的周期
例1 求下列函数的周期 , ．
(1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数 ，对于函数定义域内的每一个 值都能使 成立，同时考虑到正弦函数 的周期是 ．
解：∵ , 即 ．
∴ 当自变量由 增加到 时，函数值重复出现，因此 的周期是 ．
(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数 ，对于函数定义域内的每一个 值都能使 成立，同时考虑到正切函数 的周期是 ．
解：∵ , 即 ．
∴ 函数 的周期是 ．
注意：1、根据周期函数的定义，周期 是使函数值重复出现的自变量 的增加值，
如 周期不是 ，而是 ； 2、 是定义域内的恒等式，即对于自变量 取定义域内的每个值时，上式都成立．
2、根据公式求周期
对于函数 或 的周期公式是 ，
对于函数 或 的周期公式是 ．
例3 求函数 的周期
解： ．
3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期
例4 求函数 的周期
解：
∴ ．
例5 已知函数 求周期
解：∵
∴ ．
4、遇到绝对值时，可利用公式 , 化去绝对值符号再求周期
例6 求函数 的周期
解：∵
∴ ．
例7 求函数 的周期
解：∵
∴ 函数 的最小正周期 ．
5、若函数 ，且 ，都是周期函数，且最小正周期分别为 ，如果找到一个正常数 , 使 ，
( 均为正整数且互质)，则 就是 的最小正周期．
例8 求函数 的周期
解：∵ 的最小正周期是 ， 的最小正周期是 ．
∴ 函数 的周期 ，把 代入得 ，即 ，
因为 为正整数且互质， 所以 ．
函数 的周期 ．
例9 求函数 的周期
解： ∵ 的最小正周期是 ， 的最小正周期是 ，
由 ， ， ( 为正整数且互质),
得 ．
所以 函数 的周期是 ．
函数的周期性
--函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中"突然"出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题
一.明确复习目标
1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；
2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。
二、建构知识网络
1.函数的周期性定义：
若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的
2.若T是周期，则k•T（k≠0,k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非所都有最小正周期。如常函数f(x)=C；
3.若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期。
（若f(x)满足f(a+x)=f(a－x)则f(x)的图象以x=a为图象的对称轴，应注意二者的区别)
4.若函数f(x)图象有两条对称轴x=a和x=b，（a<b），则2（b-a）是f（x）的一个周期
5.若函数f(x)图象有两个对称中心（a，0），（b，0）（a<b），则2（b-a）是f（x）的一个周期。(证一证)
6.若函数f（x）有一条对称轴x=a和一个对称中心（b，0）（a<b）,则4（b-a）是f（x）的周期。
举例:y=sinx,等.
三.双基题目练练手
1.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(1)=0，则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2.若函数y=f(x)是周期为2的奇函数，且当x∈(0,1)时f(x)=x+1，则f(π)的值为 （ ）
A．π-5 B.5-π C.4-π D. π-4
3. 是偶函数，且 为奇函数，则f(1992)=
4.设存在常数p>0,使 ，则 的一个周期是 ，f(px)的一个正周期是 ；
5.数列 中
简答精讲：1、B；2、A；3、993；因（-1，0）是中心，x=0是对称轴，则周期是4；4、 ， ；5、 ；由已知 ，周期为6。
四.经典例题做一做
【例1】已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。
解法1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。）
∵ x∈(1,2), 则-x∈(-2,-1),
∴ 2-x∈(0,1), ∵ T=2,是偶函数
∴ f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.
x∈(1,2).
解法2（从图象入手也可解决，且较直观）f(x)=f(x+2)
如图：x∈(0,1), f(x)=x+1.∵是偶函数
∴x∈(-1,0)时f(x)=f(-x)=-x+1.
又周期为2， x∈(1,2)时x-2∈（-1，0）
∴f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.
提炼方法：1.解题体现了化归转化的思想,即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上转化;
2.用好数形结合,对解题很有帮助.
【例2】f(x)的定义域是R，且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),若f(0)=2008,求 f(2008)的值。
解：
周期为8，
法二：依次计算f(2、4、6、8)知周期为8，须再验证。
方法提炼：
1.求周期只需要弄出一个常数;
2.注意既得关系式的连续使用.
【例3】若函数 在R上是奇函数，且在 上是增函数，且 .
①求 的周期；
②证明f(x)的图象关于点(2k,0) 中心对称;关于直线x=2k+1轴对称, (k∈Z );
③讨论f(x)在(1,2)上的单调性；
解: ①由已知f(x)=－f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期T=4.
②设P(x,y)是图象上任意一点,则y=f(x),且P关于点(2k,0)对称的点为P1(4k-x,-y).P关于直线x=2k+1对称的点为P2(4k+2-x,y).
∵f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,∴点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称.
又f(x)是奇函数,f(x+2)=-f(x)=f(-x)
∴f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y, ∴点P2在图象上,图象关于直线2k+1对称.
③设1<x1<x2<2,则-2<-x2<-x1<-1, 0<2-本回答被提问者采纳