(高等数学) 第八道题，用高斯公式求解曲面积分，我算出来的答案很参考答案不同，但我觉得自己用柱坐

Question

如题所述

Answer 1

8. (1) 旋转曲面 ∑：z=x^2+y^2.
记 F = x^2+y^2-z, F'=2x, F'=2y, F'=-1,
得法向量是 {2x， 2y， -1}， 单位法向量为
{2x/√(1+4x^2+4y^2)， 2y√(1+4x^2+4y^2)， -1√(1+4x^2+4y^2)}。
（2）补充平面 ∑1：z=2，x^2+y^2≤2 部分，取上侧. 则
I = ∫∫ = ∫∫ - ∫∫,
前者用高斯公式，后者 z=2， dz=0，得
I = ∫∫∫ [8(y-1)+8y+1]dxdydz -∫∫2(8y+1)dxdy
= ∫dt ∫(16rsint-7)rdr ∫dz
- ∫dt ∫(16rsint+2)rdr
= ∫dt ∫(16rsint-7)r(1-r^2)dr
- ∫dt ∫(16rsint+2)rdr
= ∫dt ∫[16(r^2-r^4)sint-7(r-r^3)]dr
- ∫dt ∫(16r^2sint+2r)dr
=∫(-32√2/15)sintdt - ∫[(32√2/3)sint+2]dt
= ∫[(-2√2/5)sint-2]dt
= [(2√2/5)cost-2t] = -4π