论文：运用统计和概率方法分析美国GDP运行走势
字体大小：大 | 中 | 小 2009-03-17 11:14 - 阅读：37 - 评论：0
撰稿时间：2008年11月
摘要：以美国近几十年的Real GDP（实际GDP）季度变化百分比作为离散型随机变量，运用统计和概率方法，利用马尔可夫链模型，按照变化幅度剧烈与缓慢进行量化、建模，从以往的几十年实际GDP变化规律，预测未来一两年内美国实际GDP变化走势。
关键字：GDP；概率；统计；马尔可夫链；转移概率；经济预测
1 引言
概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，它的理论和方法已广泛地应用于自然学科、技术科学和社会科学的各个领域，尤其在天气预报、地质勘探等领域有着广泛的应用。著名经济学家特里夫·哈维默就认为全部经济规律都可以用概率的方法来描述。各种经济数据可以看作是一系列相互影响或者独立的随机变量，而经济数据的变化则是一个个错综复杂的随机过程。随着全球经济的融合和金融信息化，概率论在宏观经济预测、调控以及统计提供有效参考数据等方面将发挥越来越重要的作用。
国内生产总值(Gross Domestic Product，GDP)，是衡量一个国家经济运行好坏的最重要的经济运行指标之一。本文从概率论学角度出发，分析美国1947年以来近几十年的实际GDP（Real GDP）变化情况，从变化的幅度大小和变化的时间跨度两方面入手，将实际GDP变化百分比转化为在有限状态空间内变化的离散型随机变量。这个随机变量在状态空间内转移的过程也就是实际GDP随时间变化的随机过程，构建出实际GDP变化的马尔可夫链模型。从而根据建立的概率模型来预测随机变量的下一步的转移情况，得到的就是未来实际GDP的运行走势。大致的分析与预测过程可以描述为：数据处理－>统计与分析－>建立数学模型－>得出结论。
2 对GDP的分析与建模
美国是全球最发达的经济体，对美国经济发展的运行指标进行研究和考察，不仅能揭示出美国经济周期本身的特点，还可以对经济运行起到良好的分析和借鉴作用，对世界各国宏观经济的运行预测和干预提供帮助。而且美国经济指标体系的完备程度也最高，作为重要的公共信息定期发布和修正，从理论分析上保证了数据的可靠性和充分性。
国内生产总值(Gross Domestic Product，GDP)：是指一国生产的全部最终产品和服务的总值。GDP是目前各个国家和地区用来衡量该国或地区的经济发展综合水平通用的指标，反应一个国家总体经济状况的一张最为重要、综合性最强的晴雨表。通常所说的GDP是指名义GDP（Normal GDP），而实际GDP（Real GDP）考虑到了通货膨胀导致价格上升的因素，相对而言更准确的反应了一个国家的经济发展。美国经济分析局[1]（Bureau of Economic Analysis）提供的多种GDP指标中以不同的权重来衡量，此次分析选择了实际GDP季度变化百分比（Percent Change From Preceding Period in Real Gross Domestic Product [Index numbers, 2000=100]），更关注的是GDP的波动变化。美国GDP数据每个季度公布一次，此次考察区间为1947年第2季度至2008年第3季度期间实际GDP变化百分比（见表1），用数学公式描述为一个离散的序列：t是表示季度的排序序号，从零开始;X表示实质GDP变化百分比
研究经济数据的运行过程，也是构造数学模型的过程，必然以大量的数据统计为基础。连续62年共246个季度的GDP变化百分比能够反应了美国相当长时期内的GDP走势，因此可以作为对今后一定长时期内GDP变化分析的数据依据[2]。
2.1 对GDP变化的直观分析
由于经济现象中经济变量的变化错综复杂，必然带有一定的随机“干扰”，因此需要先对随机变量分布作一定的假定。首先，使用微软EXCEL软件将上述变化百分比序列以散点图形式绘制出来（见图1）。从图上可以直观分析得出：美国连续62年以来，实际GDP变化百分比大体上经历着“上升－下降－上升－下降”的不断重复的特性，所不同的是，时间跨度和上升或下降的幅度不同。结合美国经济发展历史，在这62年期间美国经济经历了 “增长－>衰退－>增长－>衰退”随机往复特性。当处于经济危机阶段或者经济滞胀时期，实际GDP变化百分比就会发生连续大幅上下震荡的趋势，而当经济处于平稳发展阶段，实际GDP变化百分比呈现小幅上下震荡趋势。由此可以根据实际GDP变化幅度反向推断经济运行趋势。
2.2构建GDP变化的马尔可夫链模型
马尔可夫（Markov）过程是用于分析随机过程的理论方法，对于时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链。马尔可夫链模型通常用于统计学中的建模，在自然生物人口过程、商品市场占有率变化、以及天气变化方面都有非常广泛的应用。如果某一时刻系统状态的概率分布只与前一时刻的状态有关，与以前的状态无关，则该系统符合马尔可夫性或者无后效性。实际GDP变化百分比受到很多外部经济变量如战争、宏观调控政策等各种因素的影响，变化呈现随机特性，因此可以认为短期内未来实质GDP变化百分比只与当前阶段的实质GDP变化有关，符合马尔可夫性。
为了描述实际GDP百分比的变化幅度，先要对看似随机变化的数据进行量化，幅度大小对百分比进行如下量化定义：
状态1：大幅增长（一次或者连续几次增长幅度超过7，包括边界值）；
状态2：大幅下降（一次或者连续几次下降幅度超过7，包括边界值）；
状态3：小幅增长（一次或者连续几次幅度增长大于1并且小于7）；
状态4：小幅下降（一次或者连续几次幅度下降大于1并且小于7）；
可以看出，区分大幅增长还是小幅度增长的变化幅度范围对概率统计起到决定因素，不同的量化标准产生的统计结果也会不一样。另外，在图1中可以看到有些相邻的时间点变化幅度非常微小，这里把这个叫做干扰，把前后相邻变化幅度小于1的序列点视为干扰信号，近似认为后一个序列点状态保持不变。如果将这种细微变化也算作小幅增长或者小幅下降，将会放大干扰信号的作用。这样实质GDP变化百分比就转化成了一个在1、2、3、4有限状态空间内变动的离散的时间序列。如果只关注状态变化趋势和经历的时间，则只需要记录状态发生变化的134个序号以及发生的时间点即可，这样一个新的状态序列描述为：s代表排序序号，从零开始；t代表状态发生变化的季度序号；Y代表状态。
用Microsoft Excel的散点图形式描绘的实际GDP变化状态（见图2）能够更直观的观察实际GDP变化幅度在有限个状态空间内的变化情况：
对上述状态序列Y(t)进行统计，可以得出各状态之间一步转移的次数，进而计算出各状态之间一步转移概率和一步转移矩阵P。另外，为了得到状态发生一步转移所经历的时间跨度，需要计算出相应的状态转移的时间差，即当tn到tn+1时，状态从Yn转移到Yn+1，则对应的时间跨度为sn+1－sn，通过简单的求平均值的方法求出所有一步状态转移对应的平均时间跨度（见表3），时间跨度以季度为一个单位。
状态转移 转移次数 一步转移概率 平均时间跨度
状态1到状态2 10 0.476 2.3
状态1到状态4 11 0.524 2.3
状态2到状态1 13 0.542 2.2
状态2到状态3 11 0.458 1.9
状态3到状态2 14 0.304 1.6
状态3到状态4 32 0.696 1.8
状态4到状态1 7 0.167 1.3
状态4到状态3 35 0.833 1.6
总计133次(表3：实际GDP状态一步转移统计结果)
2.3 根据马尔可夫模型对近期美国GDP变化进行预测
当前实质GDP变化的状态是4，根据上述转移矩阵和每次转移所经历的时间跨度可以得出近期发生状态转移的结果，即近期实质GDP变化幅度和大致所需要经历的时间。
当前状态 转移步数 目标状态 转移概率 平均时间跨度
4 2 2 0.333 3.4
4 2 4 0.667 3.5
4 3 1 0.292 5.3
4 3 3 0.708 5.2
表4：马尔可夫链模型对实质GDP变化的预测结果
模型给出的预测结果显示：美国实际GDP当前处于小幅下降阶段，经过2次转移后，大约在未来3～4个季度内，会出现两种变化走势，小幅下跌和大幅下跌，发生的可能性分别为66.7%和33.3%。经过3次转移后，大约在未来5～6季度会发生小幅增长和大幅增长，发生的概率分别为70.8%和29.2%。由此分析得出，未来3～4个季度内（目前为2008年11月）美国经济肯定会出现衰退，出现大幅幅度衰退的可能性高达66.7%；而经济恢复则需要在未来5～6季度内发生，缓慢回升的概率更大，占70.8%，由此看来美国未来一两年内经济形式面临严峻考验。
3 总结
概率论作为一门研究随机现象的数量规律学科，通过将金融经济中的数据以概率论方法统计分析后，可以关系到各个国家经济导向。今后将逐渐在经济中发挥着重要的作用。马尔科夫分析法是研究随机事件变化趋势的一种方法。经济运行数据的变化也经常受到各种不确定因素的影响而带有随机性，若其具有“无后效性”，则可以用马尔科夫分析法对其未来发展趋势进行宏观趋势分析。实际GDP季度变化百分比是一个固定时间间隔的幅度大小发生变化的随机过程，因此用马尔可夫链模型分析其变化趋势是比较符合这一类应用。首先对实际GDP季度变化百分比按照变化幅度划分有限个状态的状态空间，然后对状态之间的一步转移情况进行统计，进而计算出实际GDP变化的一步转移概率矩阵。由这个概率矩阵和当前状态就可以推算出GDP变化下一个状态是什么，其概率为多少，也就是未来的实际GDP变化走势。
任何模拟自然界数据的一种模型都会存在一定的误差，不同的是误差的大小不同而已。本文在数据处理阶段即概率状态空间的划分过程中，由于不同的量化标准产生的统计结果也不一样，因此会损失了部分样本，产生了一定的误差。
本文的概率分析过程仅针对众多经济运行指标中的一个进行，实际的经济运行体包括多个经济衡量指标，比如消费者物价指数、通货膨胀率、失业率等等，它们之间相互关联和影响，如果想更准确的得到经济运行走势，可以对多个经济指标逐个分析，然后对每个分析和预测结果再进行综合评测。
4标注
[1] 美国经济分析局BEA（Bureau of Economic Analysis）：BEA的功能主要是分析和综合大量数据以便创造美国经济的一个连贯模式。BEA还对国际、国家和地区的经济进行预算和分析。其中以对国民生产总值（GDP）的预算最为著名。
[2] 美国实际GDP季度变化百分比仅从1947年开始有记载，因此数据有限，仅对未来短期内的GDP变化预测起到借鉴作用，对分析未来长期宏观经济形式可能会有局限性。
5参考文献
[1]，高鸿生，《西方经济学（宏观部分）第四版》，中国人民大学出版社，2007
[2] 隋亚莉，李鸿儒，《经济数学基础--概率统计(第3版)》，清华大学出版社
[3] 范晓志， 宋宪萍，概率论在经济生活中的多维应用，《统计与决策》，2005，（8）
[4] 杨曾武，《统计预测原理》，中国财政经济出版社，1990
[5] 郝艳茹，马尔可夫链理论与市场占有率分析和预测，《上海统计》，2000，（1）
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