初中数学函数题：如图，已知点A（-1,0），B（3,0），C（0，t），且t>0，OC=3OA

Question

初中数学函数题：如图，已知点A（-1,0），B（3,0），C（0，t），且t>0，OC=3OA，抛物线经过ABC三点，点P（2，m）是抛物线与直线l：y=k(x+1)的一个交点1 求抛物线解析式2 关于动点Q（1，n），求PQ+QB最小值2 若动点M在直线上方的抛物线上运动，求三角形AMP的AP边上的高h的最大值

（前两问都没问题，关键是第三问，望老师解答）

Answer 1

1)tan∠BAC=CO/OA=3,CO/1=3,CO=0.即点C为(0,3);
设抛物线为Y=ax^2+bx+3.图象过点A(-1,0),B(3,0)则：
0=a-b+3;
0=9a+3b+3.
解之得：a=-1,b=2.抛物线为Y=-x^2+2x+3.
2)把X=2代入Y=-x^2+2x+3.Y=3.即点P为（2，3）；
直线Y=K(X+1)过点P,则3=K(2+1),K=1.即直线为Y=X+1.
Y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4.
故抛物线对称轴为X=1，即点Q为对称轴上的动点。
点B(3,0)关于对称轴X=1的对称点即为点A(-1,0),故当点Q与P、A在同一直线的时候，PQ+BQ最小；
此时PQ+BQ=PQ+AQ=PA=√(3^2+3^2)=3√2.
3)⊿APM中AP上的高最大时,⊿APM面积最大;
而⊿APM面积最大时,AP上的高也最大.
设点M为(t,-t^2+2t+3).则：
S⊿APM=S⊿AEM+S梯MEFP-S⊿AFP
=(t+1)(-t^2+2t+3)/2+(-t^2+2t+3+3)(2-t)/2-3*3/2
=(-3/2)*(t-0.5)^2+27/8.
故t=0.5时，S⊿APM最大；最大值为27/8。
所以PA上的高h最大为：（27/8)*2/(3√2)=(9√2)/8