第1个回答 2023-02-14
《数学新课程标准》明确指出:“由于学生所处的文化环境、家庭背景以及自身的思维方式的不同,学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的活动。”在一堂《直线和双曲线的位置关系》的习题课上,我深切地体会到学生才是数学课堂的主体,教师要通过引导让学生的奇思妙想更加“光彩夺目”。
一、起源
这是一堂介绍直线和双曲线的位置关系的习题课,我出示了如下例题:
已知双曲线x24-y22=1,问是否存在直线l,使得l被双曲线所截弦的中点是N(1,12)?
下面是本人在实际教学中的部分过程:
[教师]刚才大家是利用点斜式设直线方程,把直线l与双曲线联立,利用根与系数的关系表示出点N(1,12),进而得到直线l的斜率。当然,我们发现求得的直线l是不符合题意的。利用联立来解决直线和圆锥曲线的位置关系问题是毋庸置疑的。那么我们是否可以用点差法呢?
[学生1]假设直线l存在,设直线l和双曲线的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入双曲线方程。把两式x124-y122=1,x224-y222=1相减,可以得到:
14(x1-x2)(x1+x2)-12(y1-y2)(y1+y2)=0,由题意知,x1+x2=2,y1+y2=1。
代入即得y1-y2x1-x2=1,所以直线l斜率为1,得到直线l方程为y=x-12。
[学生2]不对,刚才用“联立法”的时候发现直线y=x-12与双曲线是没有交点的,所以这里也应该检验一下,应把解出来的直线y=x-12舍去。
[教师引导]对于怎样的问题,我们可以用点差法呢?
[学生3]当与直线和双曲线的交点弦的中点、斜率有关的时候,可以用点差法。
[教师补充]当然,解得的直线方程是要检验是否符合题意的。
二、疑惑——探究
就在我以为问题得以圆满解决的时候,有学生提出了疑问。
[学生4]为什么明明解出了方程为y=x-12的直线l,但它却与双曲线没有交点呢?
听到这里,我大吃一惊,这是我在备课过程中没有想到的问题!不过我还是打算和学生一起探究一下。
[教师]那我们一起来看一下全部的解答过程,这样的方法哪里有可能出现问题呢?
学生开始探究,不一会儿……
[学生5]问题出在作差。只要双曲线方程满足x24-y22=m(m≠0),那么代入点后,把x124-y122=m与x224-y222=m作差均能得到14(x1-x2)(x1+x2)-12(y1-y2)(y1+y2)=0。
所以把题中的双曲线改成x24-y22=m(m≠0),即均能计算出直线l方程为y=x-12。
[教师]在所有的双曲线x24-y22=m(m≠0)中,有一部分是和直线l有两个交点的,有一部分是和直线l只有一个交点或者是没有交点的。那么,什么时候双曲线才与直线有两个交点呢?
[学生6]把直线l的方程y=x-12代入x24-y22=m(m≠0),计算Δ=2-16m,只要Δ>0,即m∈(-
䥺SymboleB@ ,0)∪(0,116),这些双曲线与直线y=x-12相交的弦的中点都是N(1,12)。其中,当m∈(-
䥺SymboleB@ ,0)时,双曲线的交点落在y轴上,直线y=x-12与双曲线交于两支且相交弦的中点是N(1,12);当[JP3]m∈(0,116)时,双曲线的交点落在x轴上,直线y=x-12与双曲线交于右支且相交弦的中点是N(1,12)。
三、几点课后反思
1.数学问题的选择要有启发性、探究性和开放性
玻利维亚说:“好问题与蘑菇有类似的结论,大多成堆地生长,找到一个以后,你应该在周围找一找,很可能在附近就有几个。”用一个有意义的但不太复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面,使得通过这道题,就好像通过一道门户,把学生引入一个完整的理论领域。总之,问题的设计,要注重策略,应竭力点燃学生思维的火花,激发他们的求知欲望,并有意识地为他们解决问题提供桥梁和阶梯,引导他们逐步掌握全新的知识和能力。
2.教师要引导学生探究自己的奇思妙想,更要让学生的奇思妙想“光彩夺目”
著名的教育家陶行知先生说:“处处为创造之地,时时为创造之时,人人为创造之人。”在教学过程中,教师要相信学生的能力,让学生讲,让学生讨论,可谓讨论中,问题灰飞烟灭,讨论中,学生信心倍增。教师不应该是知识的呈现者和知识权威的象征,而应该本着教学相长的思想,耐心倾听学生的思考过程,因为只有“求异”,才会有创新,学生的“奇怪想法”很有可能就是一种“巧解”,或许蕴藏着创新的思维、智慧的火花。对学生的独特思维,要进行适当的评价,要多加鼓励,通过适当的评价去唤醒学生的创新潜能,去鼓舞学生的创新志向,最终实现他们的自我价值。
(作者单位:江苏省运河中学)