第2个回答 2012-08-06
提及旋转体有关面积的计算 ,最常见的是有关圆柱、圆锥、圆台的轴截面面积和侧面积的问题 .那么 ,这两者是否存在某种联系呢 ?如果有 ,它能给我们什么启示呢 ?我们首先从最简单的圆柱着手 .设有一圆柱体 ,高是h ,底面半径是r ,则S截 =2hr , S截 =2πrh =πS截 .我们轻易地就找出了圆柱的轴截面面积与侧面积的关系 .接下来 ,我们再看圆锥中是否也存在类似的关系 .设有一圆锥体 ,高是h ,底面半径是r,母线长是l,则S截 =hr ,S侧 =πrl.乍看之下 ,它们似乎没有类似圆柱中的明确联系 ,但借助于母线l与底面所成的角α ,可得到l =cscα·h ,S侧 =πr·cscα·h =πcscαS截 .而在圆柱中 ,母线与底面所成角α =90°,代入S侧 =πcscαS截 ,得到S侧 =πS截 .我们发现 ,圆柱与圆锥中的轴截面面积与侧面积的关系是可以统一的 .在圆台中同样存在这种联系 ,大家可以自己完成证明 .结论 在圆柱、圆锥、圆台中 ,侧面积等于轴截面面积乘以母线与底面所成角的余割和π的积 ,即 S侧 =πS截 cscα .(α为母线与底面所成角 )这个公式利用圆(