在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知b+c=4，角a=π/3，则a+b+c的最小值为（ ）

Question

rt，求解⊙ω⊙

Answer 1

a+b+c=a+4,于是求a+b+c的最小值就是求a的最小值。
由余弦定理可得：a^2=b^2+c^2-2bc*cosA=(b+c)^2-2bc-2bc*1/2=16-3bc
因为（b-c）^2大于等于0
所以b^2+c^2大于等于2bc
所以16=(b+c)^2=b^2+c^2+2bc大于等于4bc
所以bc小于等于4
所以16-3bc大于等于4（当且仅当b=c时取等号）
所以a大于等于2
a+b+c=a+4大于等于6，即△ABC是等边三角形

Answer 2

用余弦定理
因为b+c=4 所以当a为最小值时，a+b+c为最小值
a^2 = b^2 + c^2 -2bccos(π/3) = b^2 + c^2 -2bc×(1/2)
= b^2 + c^2 -bc =(b+c)^2 - 3bc
= 16-3bc
由上式，当bc为最大值时，a为最小值
因b+c=4 故c=4-b
bc=b(4-b)=4-4+4b-b^2=4-(b-2)^2
故bc最大值为4
a最小值为 √(16-3×4) = 2
a+b+c最小值=2+4 = 6

Answer 3

追问

最后一点应该是bc≤[（b+c）^2]/4才对吧
其他没什么问题了

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