等比数列推导an的前n项和公式

Question

如题所述

Answer 1

an = a1q^(n-1)
Sn = a1.q^0+a1q^1+...+a1.q^(n-1) (1)
qSn = a1.q^1+a1q^2+...+a1.q^n (2)
(1)-(2)
(1-q)Sn = a1(1-q^n)
Sn =a1(1-q^n)/(1-q)追问

为什么要1-2

追答

Sn = a1.q^0+a1q^1+a1q^2+...+a1.q^(n-1) (1)
qSn = a1.q^1+a1q^2+...+a1.q^(n-1) + a1q^n (2)
(1)-(2)
(1-q)Sn = [a1.q^0+a1q^1+a1q^2+...+a1.q^(n-1)] -[a1.q^1+a1q^2+...+a1.q^(n-1) + a1q^n]
= a1 + (a1q-a1q)+...+[a1^(n-1)-a1q^(n-1)] - a1q^n
= a1(1-q^n)
Sn = a1(1-q^n) /(1-q)

Answer 2

推导如下
因为an = a1q^(n-1)
所以Sn = a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1) (1)
qSn =a1.q^1+a1q^2+...+a1.q^n (2)
(1)-(2)注意（1）式的第一项不变，
把（1）式的第二项减去（2）式的第一项
把（1）式的第三项减去（2）式的第二项
以此类推，把（1）式的第n项减去（2）式的第n-1项
（2）式的第n项不变，这叫错位相减，其目的就是消去这此公共项。
于是得到
(1-q)Sn = a1(1-q^n)
即Sn =a1(1-q^n)/(1-q)本回答被提问者采纳