求圆锥体体积公式推导过程V=Sh×1/3

Question

如题所述

Answer 1

任何物体的体积都离不开底面积×高的求法
圆柱的体积公式是V=Sh
那么与它等底等高的圆锥的体积是多少呢?
把与它等底等高的圆锥装满水,倒进圆锥体里,你可以发现倒3次才能倒满圆柱.
所以与圆柱等底等高的圆锥是这个圆柱的三分之一
所以：圆锥的体积就是V=1/3Sh
三分之一乘底面积乘高
　　证明：
把圆锥沿高分成k分
每份高
h/k,
第
n份半径：n*r/k
第
n份底面积：pi*n^2*r^2/k^2
第
n份体积：pi*h*n^2*r^2/k^3
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
因为
1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
所以
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
=pi*h*r^2*
k*(k+1)*(2k+1)/6k^3
=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
因为当n越来越大，总体积越接近于圆锥体积，1/k越接近于0
所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3
因为V柱=pi*h*r^2
所以
V锥是与它等底等高的V柱体积的1/3

Answer 2

师：什么情况下，圆锥的体积是圆柱的三分之一呢？
生：等底等高。
生：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一。
教师板书：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一。
②第二次实验，小组内相互找到等底等高的圆柱和圆锥，再进行实验，把圆锥装满沙子倒入圆柱中，看看几次倒满？
③第三次实验，把圆柱里的满沙倒入等底等高的圆锥中，看看可以几次到完？
师：由上面的几次实验，你们可以得出什么结论？
生：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一。
板书：
v=1/3sh