高中数学数列题目求解题思路和详细过程

Question

已知数列an的前n项和Sn=(n+1)bn,其中bn是首项为1,公差为2的等差数列 （1）求数列an的通项公式 （2）若Cn=1/an（2bn+5），求数列Cn的前n项和Tn 我更需要的是解这种题目的思路，谢谢

Answer 1

(1)
bn＝2n-1
(n∈N*)
Sn＝(n+1)bn＝2n^2+n-1①
故S(n-1)＝2(n-1)^2+(n-1)-1＝2n^2-3n②(n≥2，n∈N*)
①-②得an＝4n-1(n≥2，n∈N*)
当n＝1，S1＝a1＝2(1)^2+1-1＝2
而a1＝1×4-1＝3≠2
故an＝2，n＝1
an=4n-1，n≥2，n∈N*
(2)
当n=1时，c1=1/[a1*(2b1+5)]=1/14，
当
n>=2
时，cn=1/[an*(2bn+5)]=1/[(4n-1)(4n+3)]，
由于
1/[(4n-1)(4n+3)]=1/4*[1/(4n-1)-1/(4n+3)]，
所以，由裂项相消法可得
n=1时，Tn=1/14，
n>=2时，Tn=c1+(c2+c3+...+cn)
=1/14+1/4*[(1/7-1/11)+(1/11-1/15)+....+1/(4n-1)-1/(4n+3)]
=1/14+1/4*[1/7-1/(4n+3)]
=(6n+1)/[14(4n+3)]
由于n=1时，Tn=1/14=(6n+1)/[14(4n+3)]，
所以，所求Tn=(6n+1)/[14(4n+3)]（n>=1，n∈N*）。