如图,三角形ABC为等边三角形,D、E、F分别在BC、CA、AB上,且三角形DEF也是等边三角形。

Question

如图,三角形ABC为等边三角形,D、E、F分别在BC、CA、AB上,且三角形DEF也是等边三角形。（1）除已知相等的边外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的

Answer 1

如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点

【1】∵AD=BE=CF

∴AB-AD=BC-BE=AC-CF 即DB=EC=FA

又∵∠A=∠B=∠C=60°

∴△ADF≌△BED≌△CFE

∴DF=ED=FE[边角边]

∴△DEF是等边三角形

【2】若△DEF是等边三角形，AD=BE=CF成立，理由如下：

∵△DEF是等边三角形

∴DF=ED=FE，∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°

又∵∠ADF+∠BDE=120°，∠BDE+∠DEB=120°

∴∠ADF=∠DEB

同理可得 ∠ADF=∠EBD=CFE

又∵∠A=∠B=∠C=60°

∴△ADF≌△BED≌△CFE[角角边]

∴AD=BE=CF

如有不懂请追问，望采纳

Answer 2

AF=BD=CE；AE=BF=CD
证明：∵∠AFD=∠AFE+∠EFD；∠AFD=∠B+∠BDF
∠EFD=∠B=60°
∴∠AFE=∠BDF
又∵∠A=∠B
∴∠AEF=∠BFD
已知EF=DF
∴△AEF≌△BFD
∴AF=BD；AE=BE
同理可证CE=AF；AE=CD
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