第1个回答 2019-07-06
这道题的1,因为这裏不知道φ(x)
-
cos
x与谁等价,所以我们无法用等价代换,就是说,现在我们不知道该用谁代换φ(x)
-
cos
x,而题目中的条件“φ具有二阶连续导数”,保证了“φ具有一阶导数”,从而可以对φ求导数,所以想到用洛必达法则解决问题,lim(x->0)f(x)
=
lim(x->0)
(φ(x)
-
cos
x
)/x
=
lim(x->0)
(φ'(x)+sin
x
)/1=
lim(x->0)
(φ'(x)+sin
x
)=
φ'(0),（此处lim(x->0)
φ'(x)=φ'(0)用到条件“φ具有一阶连续导数”,这由原条件“φ具有二阶连续导数”可以保证）要使f(x)
在
x=0
处连续,就要成立lim(x->0)f(x)
=f(0)
,（此处用到连续的定义）所以要有a=
f(0)
=φ'(0).这道题的2,涉及到分段函数在分段点的导数应该从导数的定义求,当x≠0,可以用导数的公式求出f
'(x)=★,略,此处同lanlovelanlan的回答,当x=0,用导数的定义求,f
'(0)=lim(x->0)
[f(x)-f(0)]
/
(x-0)=lim(x->0)
[(1/x)*(φ(x)
-
cos
x)
-φ'(0)]
/
x=lim(x->0)
[φ(x)
-
cosx
-xφ'(0)]
/
x^2=lim(x->0)
[φ'(x)+sinx
-φ'(0)]
/
2x
（用洛必达法则）=lim(x->0)
[φ''(x)+cosx
]
/
2
（再用洛必达法则）=[φ''(0)+1]
/
2
（此处用到“φ具有二阶连续导数”）
则这道题的2,所求f
'(x)
=★,当x≠0；[φ''(0)+1]
/
2,当x=0.说明,这个题目的概念和方法方面确实都很强,其中“φ具有二阶连续导数”是很强的条件,还有条件“φ(0)
=
1”,在分析最初的极限lim(x->0)f(x)=lim(x->0)
(φ(x)
-
cos
x
)/x时就用上了,方法方面,用到了分段函数在分段点的导数需要从导数的定义来求.另外,以下录lanlovelanlan的回答作一点儿修改,注意▲处,修改①,“因为分母X已经趋向于0了,题目要求连续,就说明▲（导数）（极限）一定存在,所以分子必须趋向于0,等价代换是在正常情况下的代换,出现这种分母为0的情况,一定分子也趋向于0,不然▲（导数）（极限）不存在,然后再用罗比达法则.lim(x->0)f(x)
=
lim(x->0)
(φ(x)
-
cos
x
)/x
=
lim(x->0)（φ'(x）+sinx）/1=
(φ'(0)+0)/1=φ'(0)▲（导数）（极限值）与▲（值）（函数值）相等才连续
所以a=φ'(0)
修改②,你加上这个条件更好解释
,x趋于0的时候分母趋于0,分子1-1也是趋于0,0比0型▲（一定要用）（不一定用）罗比达法则.修改③,f'(x)
=[φ'(x)+sinx]x-(φ(x)
-
cos
x)/(x^2)
x=/=0▲（0）（[φ''(0)+1]
/
2）
x=0