两点的所有连线中,线段最短
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.
两点的所有连线中,线段最短
如图所示,在河a两岸有A、B两个村庄,现在要在河上修建一座大桥,为方便交通,要使桥到这两村庄的距离之和最短,应在河上哪一点修建才能满足要求?(画出图形,做出说明)
如图所示,连接AB交直线a于点P,此时桥到这两村庄的距离之和最短.
两点之间线段最短
运用轴对称解决距离之差最大问题
如图所示,A,B两点在直线l的两侧,在l上找一点C,使点C到点A、B的距离之差最大.
如图所示,以直线l为对称轴,作点A关于直线l的对称点A′,A′B的连线交l于点C,则点C即为所求.理由:在直线l上任找一点C′(异于点C),连接CA,C′A,C′A′,C′B.因为点A,A′关于直线l对称,所以l为线段AA′的垂直平分线,则有CA=CA′,所以CA-CB=CA′-CB=A′B.又因为点C′在l上,所以C′A=C′A′.在△A′BC′中,C′A-C′B=C′A′-C′B<A′B,所以C′A′-C′B<CA-CB.