如何用泰勒公式证明积分

Question

如题所述

Answer 1

F(x) =(1/x) ∫(0->x) tf(t) dt
F'(x) =(1/x) xf(x) - (1/x^2) ∫(0->x) tf(t) dt
= f(x) - (1/x^2) ∫(0->x) tf(t) dt
= f(x) - (1/(2x^2)) ∫(0->x) f(t) d(t^2)
= f(x) - (1/(2x^2)) [ t^2. f(t)](0->x) + [1/(2x^2)] ∫(0->x) t^2. f'(t) dt
= f(x) - (1/(2x^2)) x^2. f(x)) +[ 1/(2x^2)] ∫(0->x) t^2. f'(t) dt
=(1/2)f(x) +[1/(2x^2)] ∫(0->x) t^2. f'(t) dt
> 0