第2个回答 2014-08-02
列举出来，使人“了如指掌”
，从中找出解题的途径和方法，这种思路我们叫列表思路或列举思路。运用这种思路解题
的方法叫列表法（或列举法）
。
例
1
有
1
张
5
元币，
4
张
2
元币，
8
张
1
元币，要拿出
8
元钱，可以有几种拿法？
分析（用列表思路分析）
：
如果随便拿出
8
元钱，是很容易的，难就难在把所有的情况考虑全，既不遗漏，也不重复。现在不妨列出下表。
列表时要按一定顺序排列，这样才不会遗漏和重复。
上表是按
5
元币、
2
元币、
1
元币从大币到小币依次排列的，每一种排列的总货币值都是
8
元。
对照上表看一看，有几种不同的拿法就一目了然了。
例
2
甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，甲已经赛了
4
盘，乙赛
了
3
盘，丙赛了
2
盘，丁赛了一盘，问小强赛了几盘？
分析（用列表思路分析）
：
这道题数量关系比较隐蔽，现在用列表思路考虑，将各人已经赛的盘数用表格表示出来，就很容易看出小强已经
赛了几盘。
条件：甲
4
盘
乙
3
盘
丙
2
盘
丁
1
盘
小强
？盘
甲和乙赛了
1
盘，就在表中“甲”与“乙”交叉的那格里打“√”
，丁没有和丙比赛过，就在“丁”和“丙”交叉
的那一格里画上“○”
，根据条件分析：甲赛了
4
盘，那就是指甲与乙、丙、丁、小强各赛了
1
盘，所以在相应的交叉
处都记上“√”
；乙赛了
3
盘，与甲乙赛了
1
盘，而丁只赛了
1
盘，且在与甲比赛中已经算了，所以不能与丁比赛，剩
下
2
盘只能与丙和小强各赛
1
盘，这样就把乙的
3
盘落实下来了；丙赛
2
盘，已分别与甲、乙各赛了
1
盘，所以丙不
能与丁、小强比赛了，在有关相应交叉处只能记“○”
；丁只赛了
1
盘，这一盘已和甲比赛时算了，所以丁与乙、丙、
小强没有比赛，只能在相应的交叉处记“○”
，填好了这个表就可以明显地看出小强赛了几盘。
【观察思路】互通过观察，发现隐藏在题中的数量间的关系和变化规律，从而达到顺利的解决问题的目的，这就
是观察思路。
例
1
计算下列各题。
（
1
）
33333
×
33333
（
2
）
37
×
18
＋
27
×
42
（
3
）
9999
×
9999
＋
19999
分析（用观察思路分析）
：
这几道题数据比较多而大，呆做是很麻烦的，必须想法进行简便计算。如何才能运用运算定律和运算性质呢：我
们从整体上观察题目的运算结构和数据特点，灵活运用运算定律和运算性质，就能使计算简化。
先看第（
1
）题。运算用乘法分配律时，一般要凑成整十、整百、整千„„。若把
33333
拆成
3
×
11111
，此题就
变成了
33333
×
33333=33333
×
3
×
11111
=99999
×
11111
然后变形为：
=
（
100000
—
1
）×
11111
再计算就简单多了。
再看第（
2
）题。运用乘法分配律，两个乘积中又没有一个相同因素，但从题目结构上观察，又似乎可以运用乘法
分配律，然后进一步观察，发现把
27
折成
3
×
9
，
42
折成
6
×
7
，然后用乘法交换律和结合律再重新组合。
即：
37
×
18+27
×
42
＝
37
×
18
＋（
3
×
9
）×（
6
×
7
）
=37
×
18
＋（
3
×
6
）×（
9
×
7
）
=37
×
18
＋
18
×
63
到这一步此题计算就变成了一道标准的乘法分配律逆运算题了。
最后分析第（
3
）题。从表面看，此题也不好运用乘法分配律，但仔细观察后，你会发现只要把
19999
拆成
9999
＋
10000
后就能运用乘法分配律了。即：
9999
×
9999+19999=9999
×
9999
＋
9999+10000
=9999
×（
9999+1
）＋
10000
第一次运用乘法分配律
=9999
×
10000
＋
10000
=
（
9999
＋
1
）×
10000
第二次运用乘法分配律。
分析到这一步，最后结果也就容易求出了。
例
2
自然数
1
、
2
、
3
、
4
„„，按下面的格式排列，从数字
1
开始到
2
第一次拐弯，到
3
第二次拐弯，到
5
第三次
拐弯，到
7
第四次拐弯，到
10
第五次拐弯„„。问到数字几作第
20
次拐弯。
43 44 45 46 47 48 49 50
42 21 22 23 24 25 26
„
41 20 7 8 9 10 27
„
4O 19 6 1 2 11 28
„
39 18 5 4 3 12 29
„
38 17 16 15 14 13 30
„
37 36 35 34 33 32 31
„
分析（用观察思路探索）
：
我们的观察，是有目的的观察，在这里，我们应抓住“第
20
次拐弯”
，来进行有目的性的观察，也就是说，我们
的兴趣应放在偶数次拐弯上。为了叙述方便，我们用
a
。表示第
n
次拐弯时的那个对应的自然数。
从数表观察知：
a2=3 a4
＝
7 a6
＝
13
a8
＝
21 a10
＝
31
„„
再来观察
a2
、
a4
、
a6
、
a10
„„的规律。
a4=a2+4 a6=a4+6 a8=a6+8
a10
＝
a8
＋
10
发现了这一规律，那■
a20
不就容易求出吗？
即：
a20=a18+20=a16
＋
18
＋
20=a14
＋
16
＋
18+20
=a12+14+16+18+20
＝
a10+12
＋
14
＋
16+18
＋
20
=a8
＋
10+12
＋
14+16
＋
18
＋
20
=a6
＋
8
＋
10
＋
12
＋
14
＋
16
＋
18+20
=a4
＋
6
＋
10
＋
12
＋
14
＋
16
＋
18
＋
20
=a2
＋
4+10+12
＋
14
＋
16
十
18+20
=3
＋
4
＋
10
＋
12
＋
14
＋
16+18
＋
20
最后把它计算出来，就是第
20
次拐弯的那个数。
例
3
把从
1
到
100
的数排成下面的数表，在这个数表里面，把横的方向的三个数，纵的方向的两个数，一共
6
个
数用线框围起来（如下表所示）
。若使围起来的六个数的和为
429
时，线框里面应该是哪六个数？
分析（用观察思路思索）
：
观察数表的构成规律是解此题的关键，仔细观察后，我们会发现：
（
1
）线框里的数，上、下两排中间的数，分别为其左右两数的平均数；
（
2
）上下两排对应的两数之差为
7
；
（
3
）六个数之和除以
3
为上、下两排中间数之和，这个和减去差（
7
）除以
2
为上排中间数（
10
）
，这个和加上差
（
7
）除以
2
为下排中间数。
找出了上、下排的中间数，其他四个数就容易找了。
【穷举思路】对于一组需要计算总数的东西，如果它们的数量不太多，我们可以把它一一列举出来，从而求出其
总数，这种思考问题的路子，叫穷举思路或枚举思路。运用这种思路来解题叫穷举法。
运用穷举思路分析题目时必须注意两点。第一、数目不太大，若计算的数目太多时，要一一列举当然可以，但非
常费时；第二、列举时必须保证不重复、不遗漏。
例
1
将一个整数分成若干个小于它的整数之和，这叫做分拆，比如
3=2
＋
1 3=1+1
＋
1
。但
3=1
＋
2
与
3=2+1
只是加数顺序不同，应算是同一种分拆，请问整数
6
有多少种不同的分拆方式？
分析（用穷举思路考虑）
：
因为整数
6
不大，完全可以考虑用穷举思路分析，帮助求解。由于
6=1
＋
5=2
＋
4=3
＋
3
最少可拆为两数之和；
6=1
＋
1+1
＋
1
＋
1+1
最多可拆为六数之和。
除了这两种情况之外，还可以拆成几个数之和呢？都可以用穷举法求出。
这样一共有多少种分拆方式，也就自然出来了。
例
2
北京—郑州—武汉—长沙—广州的铁路，要准备多少种车票？
分析。用穷举思路分析。
这个问题就是从北京、郑州、武汉、长沙、广州五个站中，每次取出两个站，按照起点站在前、终点站在后的顺
序排列，求一共有多少种不同的排法，先列出下表。
起点站
终点站
通过一一穷举，究竟要准备多少种不同的车票，不就一目了然了吗。
【尝试思路】通过列表，归纳等手段，用试一试的方式来探究解决数学问题，这就是尝试思路。尝试往往是数学
问题得到解决的前奏，很多数学问题的解决都发生在大胆的尝试之中。
例
1 43
位同学，他们身上带的钱从
8
分到
5
角，钱数都各不相同。每个同学都各自把身上带的全部钱买了画片。
画片只有
3
分一张和
5
分一张的两种，每人都尽量多买
5
分一张的画片。问他们所买的
3
分画片的总数是多少？
分析（用尝试思路分析）
：
（
1
）从
8
分到
5
角就是以“分”为单位的从自然数
8
到
50
的
43
个连续自然数，这正好与
43
个同学一一对应。
（
2
）每个同学都把身上所带的钱全部买画片，就是每个同学都不许有余钱。
（
3
）每个同学既要把钱花光，又要尽量多买
5
分一张的画片，所以钱数是
5
的倍数（
10
、
15
、
20
、
25
、
30
、
35
、
40
、
45
、
50
）的九个人不能买
3
分一张的画片。
钱数被
5
除余
3
的同学（
8
、
13
、
18
、
23
、
28
、
33
、
38
、
43
、
48
）每人可以买
1
张
3
分的画片，
9
人共买
9
张
3
分
一张的画片。
钱数被
5
除余
1
的同学（
11
、
16
、
21
、
26
、
31
、
36
、
41
、
46
）每人可买
2
张
3
分的画片，因为余钱数不是
3
的倍
数，只好退一个
5
分与
1
分合成
6
分，这样
8
人共买
16
张
3
分画片。
钱数被
5
除余
2
的同学（
12
、
17
、
22
、
27
、
32
、
37
、
42
、
47
）
，因为余钱数
2
分，需要退下
2
个
5
分与
2
分合成
12
分，这样每人可以买
4
张
3
分画片，
8
人共买
32
张。
同理，钱数被
5
除余
4
的同学（
9
、
14
、
19
、
24
、
29
、
34
、
39
、
44
、
49
）
，每人可买
3
张
3
分画片，共买
27
张。
然后再求其总张数就容易了。
例
2
在一条公路上每隔
100
千米有一个仓库（如图
2.20
）
，共有五个仓库。一号仓库存有
10
吨货物，二号仓库存
有
20
吨货物，五号仓库存有
40
吨货物，其余两个仓库空着，现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨
货物运输一千米需要
0.5
元的运费，那么最少要花多少运费才行？
————
10
吨
20
吨
40
吨
图
2.20
分析（用尝试思路分析）
：
根据题意，只要选择运输的吨千米数最少就最合理。那么我们就不妨将货物集中到各个仓库，试算一下吨千米数，
再一列举出来后，加以比较。
如果把货物统统运到一号仓库，那么吨千米数是：
100
×
20
＋
400
×
40
＝
18000
（吨千米）
如果都运到二号仓库，则为：
10
×
100+40
×
300-13000
（吨千米）
如果都运到三号仓库，则为：
10
×
200
＋
20
×
100
＋
400
×
200=12000
（吨千米）
都运到四号仓库，则为：
10
×
300
＋
20
×
200+40
×
100=11000
（吨千米）
都运到五号仓库，则为：
10
×
400
＋
20
×
300=10000
（吨千米）
然后进行比较后就不难发现集中在几号仓库运费最少。
此题也可以这样分析：
因为五号仓库的货物动一站就要增加
4000
吨千米，
而一号、
二号仓库的货物动一站分别只增加
1000
吨千米和
2000
吨千米，合计才
3000
吨千米，所以五号仓库货物不能动，这样再去计算运费也不难了。
【方程思路】有些题目，用算术方法解答比较繁杂，我们可以转换一种思路，用方程来解答。运用列方程解题的
思路叫方程思路也叫代数思路。
方程思路的关键是找出等量关系。把未知数看作已知数参与运算。
例
1
小明放学后沿某条公共汽车路线，以每小时
4
千米的速度回家，沿途该路公共汽车每
9
分钟就有一辆车从右
面超过他，每
7
分钟就又遇到迎面开来的一辆车，如果该路公共汽车按相等的时间间隔以同一速度不停地运行，那么
公共汽车发车的时间间隔是多少？
分析（用方程思路分析）
：
该题数量关系比较复杂，用算术方法解比较困难，我们用方程思路来探讨。为了解题方便，我们设公共汽车的速
度为每小时
x
千米。抓住公共汽车之间的距离都是相等的这个等量关系，先求出公共汽车的速度，然后再进一步求解。
化简得（
4
＋
x
）×
7=
（
x-4
）×
9
解这个方程得
x=32
再求出每两辆车之间的距离。
最后求出发车的时间间隔。
例
2
两个数相除商
8
，余
16
，被除数、除数、商与余数的和是
463
，被除数是多少？
分析（用方程思路思考）
：
两个数相除商
8
余
16
，意味着有等量关系：
被除数
=
除数×
8+16
然后我们把未知数被除数，除数分别用两个字母
x
、
y
代替，根据题意可以找两个等量关系式：
x=8y
＋
16
①
x
＋
y+8
＋
16=463
②
把①代入②得
8y+16+y+8
＋
16=463
9y=423
y
＝
47
然后可以求出被除数
x