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椅子能在不平的地面上放稳吗？
把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。下面用数学语言证明。
一、 模型假设
对椅子和地面都要作一些必要的假设：
1、 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形。
2、 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。
3、 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
二、模型建立
中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论。
首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度 这一变量来表示椅子的位置。
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了。椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。
由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A、C两脚与地面距离之和为 ，B、D两脚与地面距离之和为 ，显然 、 ，由假设2知f、g都是连续函数，再由假设3知 、 至少有一个为0。当 时，不妨设 ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：
命题 已知 、 是 的连续函数，对任意 ， * =0，且 ，则存在 ，使 。
三、模型求解
将椅子旋转 ，对角线AC和BD互换，由 可知 。令 ，则 ，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在 使 ， ，由 ，所以 。
四、模型的进一步讨论
Ⅰ.考虑椅子四脚呈长方形的情形
设A、B两脚与地面之和为 ，C、D两脚与地面距离之和为 ， 为AC连线与x轴正向的夹角（如图2所示）。显然 、 ，由假设2知f、g都是连续函数，再由假设3知 、 至少有一个为0。当 时，不妨设 ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：
命题 已知 、 是 的连续函数，对任意 ， * =0，且 ，则存在 ，使 。
图2 长方形椅脚
将椅子绕对称中心旋转180°（π），正方形ABCD变成了C’D’A’B’（如图2），即AB与CD互换，由 可知 。令 ，则 ，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在 使 ，即 ，由 ，所以 。
Ⅱ.考虑椅子四脚呈不规则四边形（即任意四边形）的情形
在椅子四脚连线所构成的四边形ABCD的内部任取一点O，作为坐标原点，建立直角坐标系，记AO与x轴正向夹角为 ，记A、B两脚与地面距离之和为 ，C、D两脚与地面距离之和为 ，根据假设3不妨设当 时， ，将椅子逆时针旋转一定角度，使A、B两脚与地面之和为0，此时，AO与x轴正向的夹角变为 ，由假设3（任意时刻椅子至少有3只脚着地）易知当 ， ，令 ，则 ，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在 , ,使 ，即 ，由 ，所以 。
图3 不规则四边形
五、评 注
模型巧妙在于用已元变量 表示椅子的位置，用 的两个函数表示椅子四脚与地面的距离。利用正方形的中心对称性及旋转90°并不是本质的。我们在模型的进一步讨论中更证实了更一般的结论：四脚连线为不规则四边形的椅子能在不平的地面上放稳。
2.37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。也就是说每场比赛只淘汰一支球队，因此37支球队进行冠军争夺赛必须淘汰掉36支球队，即必须进行36场比赛。
37支球队进行冠军争夺赛，第一轮后剩余18+1支球队，第二轮后剩余9+1支球队，第三轮后剩余5支球队，第四轮后剩余2+1支球队，第五轮后剩余1+1支球队，第六轮后剩余1支球队，即产生了冠军。
假设共需进行x轮比赛，则用算式计算就是
2^(x-1)<37≤2^x
解得x=6轮，与上面分析相同。
同理，如果是n支球队比赛，根据上述分析，则应该进行n-1场比赛，而比赛轮数则要通过方程
2^(x-1)<n≤2^x
计算求出。
假如n=2，那么解得x=1，表示两支球队争冠只需进行一轮比赛
假如n=3，那么解得x=2，表示3支球队争冠共需进行两轮比赛
假如n=4，那么解得x=2，表示4支球队争冠共需进行两轮比赛
3.首先，我们画一个示意图，如下
平常情况：
家 乘车 中点 乘车 T市车站
（t1时刻）|→——————→|→——————→|（6：00）
家 乘车 中点 乘车 T市车站
（t2时刻）|←——————←|←——————←|（6：00）
某日情况：
家 乘车 中点 步行 T市车站
（t1时刻）|→——————→|←——————←|（5：30）
家 乘车 中点
（t3时刻）|←——————←|
由题意知t3时刻比t2时刻早10分钟，而这10分钟，如果是在平时的话，应该是用在他妻子开车从中点到T市车站再返回到中点，也就是说他妻子开车从中点到T市车站只需5分钟，而从家到T市车站只需要10分钟。
平常他妻子都是6：00到达车站接他，由此可以推断出他妻子是5：50从家开车出发的，平常他们回到家是6：10，某日他们比往常提前了10分钟回家，因此某日回家时间是6：00.
他妻子从家开车到中点只需5分钟，也就是说他们5：55时刻在中点相遇了，因此他走了5：55-5：30=25分钟。
更进一步我们还可以推出他妻子开车速度是他步行速度的5倍。因为他步行的25分钟路程他妻子开车只需5分钟。本回答被提问者采纳