第1个回答 2019-04-06
递推的基础:
证明当n
=
1时表达式成立。
递推的依据:
证明如果当n
=
m时成立，那么当n
=
m
+
1时同样成立。(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设。
不要把整个第二步称为归纳假设。)
这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。
数学归纳法有两个关键点需要牢记
1。证明当n为某一个值时，结论是成立的。
2。假定n=k时成立，证明n=k+1时，结论也是成立的。
第一条的证明是第二条假设能够成立的依据。可以想象，有了第一条的证明，比如n=1时成立，那么在第二条中假定n=k时成立，就有了依据。这时k=1。
经过第二条的证明，k=2时结论也就成立了。于是在k=2时假设是一定成立的......
如果没有第一条的证明，那么第二条的假设就不一定成立了。
数学归纳法有两个关键步骤：
1.证明当n为某一个值时，结论成立；
2.假定n=k时成立，证明n=k+1时，结论也成立。
如果只证明第二条，不证明第一条的话，是会出现你说的矛盾，这个叫循环论证，是不严密甚至是错的。
一定要先证明一个特殊情况成立的时候才能用第二步证明其他情况也成立。
举例：
求证:5个连续自然数的积能被120整除
答案：
1、当n=1时1*2*3*4*5=120，能被120整除，原命题成立
2、假设当n=k时原命题成立，则当n=k+1时
（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）（k+5）
=k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）
+5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）
因为k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍数
只需证5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍数
即欲证（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是24的倍数
四个数中两奇两偶，一定有4的倍数，3的倍数，还有另一个偶数，所以一定能被4*2*3=24整除
。
即当n=k+1时原命题成立
所以，综合1、2、，原命题对任何自然数成立