第1个回答 2020-04-26
方法1
归纳法
按照第一列展开。得到递推关系式
D
=
(α+β)Dn-1
-
αβDn-2
（要求n≥3）
假设α≠β
D1
=
α+β
=
(α平方
-
β平方)
/
(α-β)
D2
=
α平方
+αβ+
β平方
=
(α立方
-
β立方)
/
(α-β)
D3
=
(α+β)(α平方
+
β平方)
=
(α四次方
-
β四次方)
/
(α-β)
设Dn-1
=
(αn次方
-
βn次方)
/
(α-β)
则Dn
=
(α+β)Dn-1
-
αβDn-2
＝......＝(α{n+1}次方
-
β{n+1}次方)
/
(α-β)
数学归纳法
Dn
=
(α{n+1}次方
-
β{n+1}次方)
/
(α-β)
当
α＝β可直接计算得到
Dn
=
(n+1)
×
α的n次方
=
(n+1)
*
α的n次方
方法2
递推法
根据Dn
=
(α+β)Dn-1
-
αβDn-2
得
Dn
-αDn-1
=
β(Dn-1
-
αDn-2)
=β平方(Dn-2
-
αDn-3)
=......
=β的(n-2)次方
*
(D2
-
αD1)
=β的n次方
①
Dn
-βDn-1
=
α(Dn-1
-
βDn-2)
=α平方(Dn-2
-
Dn-3)
=......
=α的(n-2)次方
*
(D2
-
βD1)
=α的n次方
②
当
α≠β时，
β×①
-
α×②得到
Dn
=
(n+1)
×
α的n次方
当
α=β时，
直接由
①
或者②得到
Dn
=
α的n次方
+
αD(n-1)
=
α的n次方
+
α(α的n-1次方
-
αD(n-2))
=
2α的n次方
+
α平方*D(n-2)
=......
=
(n-2)α的n次方
+
α的(n-2)次方*D2
=
(n+1)
×
α的n次方