有关正弦定理、余弦定理和解斜三角形的问题之二已知：tan[(A-B)/2]=(a...

Question

有关正弦定理、余弦定理和解斜三角形的问题之二 已知：tan[(A-B)/2]=(a-b)/(a+b),试判断三角形的形状! 是否能不通过和差化积公式求得？

Answer 1

解析：由正弦定理等式转换为：tan[(A-B)/2]=(sinA-sinB)/(sinA+sin)由三角函数的和差化积的公式得：sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]·sin[(A-B)/2]=2sin(C/2)·sin[(A-B)/2]
sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]·cos[(A-B)/2]=2cos(C/2)·cos[(A-B)/2]
因此等式变换为：tan[(A-B)/2]=tan(C/2)·tan[(A-B)/2]
所以
[tan(C/2)-1]·tan[(A-B)/2]=0
所以tan(C/2)=1或tan[(A-B)/2]=0
即C=90°或A=B
所以△ABC为直角三角形或等腰三角形.