有些建筑物或构筑物如公路、贮油罐、堆场以及一些摆放振动机器的地基经常承受着变载的作用，这些变载与静载相比有明显的区别。在处理这种软弱饱和土层时，常常在软土层顶面铺上垫层以加快其排水速度，在求解固结问题时，将该垫层作为透水边界，然而当垫层透水性不是很理想时，边界条件必须处理为半透水边界。因此，研究半透水边界的层状土在周期荷载作用下的固结问题是一个与工程实际密切相关的问题。
Terzaghi[1]建立了饱和软土层在骤加恒载作用下的一维固结理论，用以求解土体在固结过程中任意时间的沉降。此后，Schiffman[2]求得了荷载随时间呈线性增长情况下该问题的解，Wilson[3]等研究了矩形荷载作用下的饱和粘土一维固结问题并得到了解答，Alonso[4]等分析了随机荷载作用下弹性粘土层的沉降，Baligh[5]等基于Terzaghi的一维固结理论，对迭加原理作了非线性分析，吴世明[6]等推导了以积分形式表达的任意荷载的一维固结方程的通解，谢康和[7,8]研究了双层及任意层地基在简单变化荷载作用下的固结问题，蔡袁强[9]等得到了成层饱和地基在周期荷载下的有效应力的数值解，Rahal[10]对因筒仓加载和卸载而产生的循环荷载下的沉降和孔隙水压进行了分析，G.ZHU[11]研究了双层土在随深度变化的荷载下的固结问题。对于边界条件为半透水的固结问题，已有一些学者如Gray[12]，Schiffman[2]，谢康和[13]，王奎华[14]等对静载情况进行了研究。但对于半透水边界和循环荷载同时存在的软粘土的固结问题还很少见之于诸文献。作者对该问题进行了研究，利用Laplace变换，得到时域内的通解，通过数值Laplace逆变换，结合算例进行讨论，得出了一些有用的结论，可用以指导工程实践。 图1为本文拟求解的层状土在半透水边界条件下的一维固结问题计算模型的简图。在图中，2H、kv、Cv、Es分别为饱和软粘土层的厚度、渗透系数、固结系数和压缩模量。L1、L2、k1、k2分别为上下半透水层的厚度和渗透系数，q(t)为随时间而变化的外加荷载。
采用Terzaghi一维固结理论中的全部假设，得到的一维固结方程可表示为
图1地基模型计算简图
(1)
式中：(z,t)是z处t时刻相对于初始有效应力的有效应力增量(简称有效应力)；Cv=(kv×Es)/γw，其中γw为水的重度。
对式(1)进行Laplace变换可得
s·1(z,s)-1(z,0)=Cv
(2)
式中：(z,s)是(z,t)的Laplace变换。
式(2)的解为
1(z,s)=c1eβz+c2e-βz+1*(z,s)
(3)
式中：1*(z,s)是式(2)的一个特解；β=。
对于双面半透水地基，设孔隙水压力呈线性分布，问题的初值条件和边界条件为
(z,0)=0|z|≤H(4)
z=-H；t>0(5)
z=H;t>0(6)
式中：R=k1·2H/kv·L1；R′=k2·2H/kv·L2。
在任意时刻，外加应力都等于孔隙水压力与有效应力之和，即u(z,t)=q(t)-(z,t)，故式(5)和式(6)又可表示为以下形式：
z=-H；t>0(7)
z=H；t>0(8)
将式(4)、式(7)、式(8)作Laplace变换后代入式(3)可得
1*(z,s)=0，C1=Q(s)/2H[α1R′+α4R]/α2α3-α1α4；C2=Q(s)/2H[α1R′+α3R]/α2α3-α1α4.
式中：Q(s)为荷载q(t)的Laplace变换式，α1=e-βH[β-R/2H]；α2=eβH[β+R/2H]；α3=eβH[β+R′/2H]；α4=e-βH[β-R′/2H].
将以上结果代入式(3)，可得有效应力的Laplace表达式为
1(z,s)=Q(s){[eβH(β+R/2H)R′+e-βH(β-R′/2H)R]eβz+[e-βH(β-R/2H)R′+eβH(β+R′/2H)R]e-βz}/[e2βH(β+R/2H)(β+R′/2H)-e-2βH(β-R/2H)(β-R′/2H)]×2H
(9)
对式(9)求Laplace逆变换即可得所求得的有效应力(z,t)：
(z,t)=
(10)
式中：i=。当1(z,s)的表达式比较复杂时，解析解往往很难求得，对于数值Laplace逆变换问题，Durbin[15]进行了深入而细致的研究。在以下的叙述中，因为有效应力的解析式难以求出，采用Durbin所提出的数值Laplace逆变换方法。利用自编的程序，结合算例，讨论了各种参数对土体中有效应力比变化的影响。 2.1骤加恒载作用下的情况所加荷载如图2(a)所示，
q(t)=σ0，t≥0(11)
Laplace变换为Q(s)=σ0/s(12)
图2常见循环荷载及Laplace变换
当R、R′→∞时，意味着此时是完全透水的边界条件。式(9)退化为
1(z,s)=Q(s)(eβz+eβz)/eβH+e-βH=sh[β(z+H)]-sh[β(z-H)]/sh(2βH)Q(s)
(13)
将上式进行Laplace逆变换便可得骤加恒载作用下一维固结方程的解：
(z,t)=σ0[1+4/π=sinnπ/2cosnπz/2Hexp(-Cv/4H2n2π2t)]
(14)
U(z,t)=[1+4/πsinnπ/2cosnπz/2Hexp(-Cv/4H2n2π2t)]
(15)
土层的平均固结度(t)为：
(t)=1-exp(-M2Tv),M=π/2(2m+1),Tv=Cvt/4H2
(16)
可见，此情况下本文方法导出的解答与Terzaghi的理论解完全一致。
3.2正弦波形荷载作用下的情况所加荷载如图2(b)所示，
q(t)=σ0(1+sinωt)，t≥0
(17)
Laplace变换式为：
Q(s)=σ0(1/s+ω/s2+ω2)
(18)
3.3三角形荷载作用下的情况所加荷载如图2(c)所示，
(19)
q(t+2T)=q(t)
Laplace变换式为：Q(s)=σ0/Ts2thTs/2
(20)
3.4矩形荷载作用下的情况所加荷载如图2(d)所示，
(21)
q(t+2T)=q(t)
Laplace变换式为：
Q(s)=σ0/2s(1+thTs/2)
(22) 某地基H=2.5m，L1=L2=0.5m，k1=k2=2×10-8m/s，kv=5×10-10m/s，Es=6MPa，T=20d，考察图(3)所示荷载作用下有效应力比σesr(=(z,t)/σ0)随时间的变化曲线。从图(3)可以看出：
当地基的各种参数相同，对于各种循环荷载，只要加载时间足够长，土体中的有效应力最终全部达到一个稳定状态，每一个加载卸载循环下有效应力比幅值的变化趋近于零，这是普遍的规律。由于饱和土是由两相介质(水、土)组成，土体中有效应力的变化相对外加荷载有滞后现象。循环荷载下土体的有效应力比曲线都近似以恒载σ0/2曲线为中心线来回振荡，变化幅度不随时间的发展而减少。其中以矩形荷载下地基土中的有效应力变化幅值最大，三角形荷载次之。
图3不同波形的周期荷载下有效应力比变化曲线(z=2m)
图4骤加恒载下不同压缩模量有效应力比变化曲线(z=2m)图5Es对有效应力比的影响(z=2m)
图(4)表示骤加荷载下不同压缩模量的地基土在z=2m处的有效应力比增长曲线。可以看出：在其它条件相同的情况下，当土的压缩模量不同时，有效应力比的增长速度不同。压缩模量越大，有效应力比增长的速度越大，但是随着压缩模量值的增大，其对有效应力比变化的影响逐渐减小。
图5表示200d时不同压缩模量时有效应力比的变化。当Es从1.5MPa变化至4.5MPa时，σesr从0.38增长至0.46，变化了0.08；当Es从4.5MPa变化至7.5MPa时，σesr从0.46增长至0.487，仅变化了0.027，可见随着压缩模量的增加，有效应力比的增长速度变缓。
图(6)、图(7)表示的是不同压缩模量的地基土在三角形荷载下两米深处和中心处有效应力比σesr随时间的变化曲线。可以看出：在相同深度的情况下，压缩模量越小时，地基土中σesr的变化对荷载变化的滞后时间越长，即压缩模量较小的土对荷载变化不敏感；并且压缩模量越大，固结速度越快，有效应力比的变化幅值也越大，土体对外加荷载的变化反应越强烈。结合图(6)、图(7)可以看出：在不同的深度，当压缩模量相同时，有效应力的变化幅值也不相同，当地基中某一点离边界距离越大时，有效应力的变化幅值越小。在地基中心处，有效应力比近似呈直线变化。
图(8)表示的是地基在三角形荷载下，z=2m处，垫层渗透系数不同时σesr随时间的变化曲线。可以看出：垫层的渗透系数越大，即R和R′值越大，有效应力的变化幅度越大，相对外加荷载的变化滞后时间也较小。这是因为：当地基的R和R′值较大时，表明地基的上下垫层排水性能较好，地基土可以在较短时间内固结。此时土体逐步承担有效应力，Terzaghi理论假设土颗粒是弹性的，固结度越大，土颗粒承担的有效应力也越大，较大的固结度外加荷载变化时，由于导致滞后效应的孔隙水减少，地基土表现出更多的弹性体特征。
图6三角形荷载下z=2m处不同压缩模量时有效应力比变化曲线图7三角形荷载下z=0m处不同压缩模量时有效应力比变化曲线
还可以看出：当R和R′值很小时，即上下垫层接近不排水时，土体的有效应力增长速度很慢，由于孔隙水的存在，其变化幅度几乎为零。从图上看，曲线近似退化为一条斜率等于零的直线。还可看出，当R和R′值大于或小于某一数值时，有效应力变化基本上相同。在一定取值范围内时可以把上下垫层当作半透水地基。计算表明，当R和R′值大于40时，可以看成是透水地基，当R和R′值小于0.4时，可以看成是不透水地基，R和R′值在0.4～40之间时，为半透水地基。当所求问题的边界条件为半透水时，若将其简单处理为透水或不透水条件，将导致较大的误差。由图可见，边界条件对循环荷载作用下地基土中σesr的影响是很大的。目前很多实际工程问题中的固结计算，一般都笼统地处理为透水边界或不透水边界，但很多都应属于半透水边界的情况，应据边界的排水条件，相邻土层的渗透系数选择合适的边界参数R和R′，按半透水边界处理更合适。
图8三角形荷载下半透水层不同渗透系数时有效应力比变化曲线
以上是针对三角形周期荷载而言的，对于文中所提及的其它周期荷载，也有相类似的规律，在此不一一赘述。 (1)文中所给出的方法可以用于计算半透水层的地基在任意随时间变化的荷载作用下的有效应力的变化情况。求出其Laplace变换式，结合自编程序，便可求解。(2)在实际工程计算中，应根据土层和垫层的具体情况，确定边界条件究竟属于完全透水、半透水或者不透水，从而得到更为准确的结果。(3)在所有的荷载作用下，土体中的σesr都最终趋向于一稳定值。周期荷载作用下土体中的σesr的变化有相对滞后的现象。每一个加载卸载循环下有效应力比幅值的变化趋近于零。(4)外载作用下，土层中心处有效应力比的变化最慢。压缩模量越大，有效应力的变化越快。但随着压缩模量的增大，其对有效应力比变化的影响也越小。(5)垫层的渗透系数越大，有效应力的变化幅值也越大，相对外加荷载变化的滞后时间变短。
