已知正四面体棱长为a，则它的外接球表面积为______

Question

如题所述

Answer 1

正四面体的棱长为：a，
底面三角形的高：
3
2
a，
棱锥的高为：
a2?(
2
3
×
3
2
a)2
=
6
3
a，
设外接球半径为R，
R2=（
6
3
a-R）2+(
3
3
a)2
解得R=
6
4
a，
所以外接球的表面积为：4π

Answer 2

设正四面体p-abc，作高ph，连结ah，并延长与bc相交于d，
球心o在ph上，
△abc是正△，ad=√3a/2,
h是正△abc重心，
ah=2ad/3=√3a/3，
在直角三角形pah中，根据勾股定理，
ph=√6a/3,
设oa=op=r，
ao^2=ah^2+oh^2,
oh=ph-r,
r^2=(√3a/3)^2+(√6a/3-r)^2,
a^2=2√6ar/3,
r=√6a/4胆法册盒夭谷差贪倡楷,
球表面积s=4πr^2=3πr^2/2.