旋转椭球面x^2+y^2+4z^2=9被平面x+2y+5z=0截得椭圆,求该椭圆的长半轴与短半轴

Question

如题所述

Answer 1

首先确定椭圆的中心,因为椭球面的中心在原点O,平面也过原点O,所以椭圆的中心也在原点O
根据题意,只要求出椭圆上到中心O的距离d^2=x^2+y^2+z^2的最大值和最小值即可.
根据条件极值的求法,
设P(x,y,z,λ1,λ2)=x^2+y^2+z^2+λ1(x^2+y^2+4z^2-9)+λ2(x+2y+5z)
令p'x=2x+2λ1x+λ2=0
p'y=2y+2λ1y+2λ2=0
p'z=2z+8λ1z+5λ2=0
p'λ1=x^2+y^2+4z^2-9=0
p'λ2=x+2y+5z=0
解得 四个极值点A(6/√5,-3/√5,0),B(-6/√5,3/√5,0),C(1,2,-1),D(-1,-2,1)
其中前两个为长轴端点,后两个为短轴端点,
所以长半轴a=AO=3
短半轴b=CO=√6