空间的垂直关系有以下三种:
『线线垂直』:包括共面垂直和异面垂直两类情况。
『线面垂直』
『面面垂直』
这三种垂直关系,可以相互转化。
(1)由线线垂直可以推出线面垂直。这是线面垂直的判定定理,也是一项常规性的操作。
(2)由线面垂直可以推出线线垂直。这是线面垂直的判定定理。
(3)由线面垂直还可以推出面面垂直。
(4)由面面垂直可以推出线面垂直。
(5)此外,借助线线平行,可以由线面垂直推出新的线面垂直;由两组线面垂直(同一个平面不同直线)可以推出线线平行;由两组线面垂直(同一直线不同平面)可以推出面面平行。
【破解要点】
解答本题的关键如下:
(1)由三线合一可以推出:
(2) 是等腰直角三角形;由此可以推出: , 进一步得出: ,
(3) 是等腰三角形;作 中点 ,并连接 , 根据三线合一可以推出: , 从而有: 平面 ,
综上所述,有两条路线可以推出线面垂直;在这两条路线中, 「三线合一」 都起到了关键性作用。
【破解要点】
分析本题已知条件可以看出: 本题模型与 2007年文数海南卷题18 高度相似,其特征如下:
是正三角形, 是等腰直角三角形; 是等腰三角形;
是直角三角形;
如果连接 , 则
于是集齐了证明线面垂直所必需的要素: .
等腰三角形的 「三线合一」 是解答本题的关键.
【破解要点】
「欲证线面垂直,先证线线垂直.」
几何图形在平移和翻转后,形状和大小不改变.
在图1中, 是直角;在图2中, 是直角,
「由线线垂直推出线面垂直」 :
「由线面垂直推出线线垂直」 :
「再由线线垂直推出线面垂直」 :
平面 ;
【破解要点】
从线线垂直推出线面垂直是常用的方法,这种方法的要求是:从平面上找出两条相交的直线与待证的直线垂直.
在本题中,证明 相对容易:
是菱形
以上过程中,由线线垂直推出线面垂直,再推出新的线线垂直.
再来找另外一对线线垂直.
观察 , 我们发现:已知条件中给出了多条线段的长.
根据勾股定理容易算出:
记 交点为点 , 则
于是得出结论: ,
至此,证明线面垂直所需要的两对线线垂直就集齐了.
本题的特色在于: 「一对线线垂直是从线面垂直推出;另一结线线垂直关系则是用三角形的相似关系推出.」
注:理数与文数的第1问完全相同。
【破解要点】
是长方体
;
平面 ;
问题1的证明过程可以总结为:
「由线线垂直推出线面垂直;线面垂直推出线线垂直;线线垂直推出线面垂直.」
【破解要点】
由面面垂直和线线垂直推出线面垂直:
然后推出线线垂直:
平面 ;
本题要点可概括如下: 「由面面垂直推出线面垂直;由线面垂直推出线线垂直;再由线线垂直推出线面垂直.」
【破解要点】
为了证明线面垂直,需要两对线线垂直:
(1)由菱形的性质推出:
(2)
以上两对垂直关系,其实都从菱形的对角线相互垂直这一性质推导提出.
【破解要点】
为证线面垂直,需要两对线线垂直.
其中一对是 , 由 「菱形的性质」 得到;
另外一对是 , 由 「勾股定理的逆定理」 推出.
【破解要点】
仔细观察会发现:此模型中存在多个正三角形,其中最重要的是: ;
首先,我们把 单独画出来。注意这是一个正三角形,
根据勾股定理可以推出:
注意本题的模型具有很强的对称性, ,
所以 ,
所以
由于 是正三角形,
根据勾股定理的逆定理推出:
同理可证:
从而推出线面垂直: 平面
注意:在以上过程中,我们实际已经推出如下事实: 是正三角形,而 是三个全等的等腰直角三角形. 四面体 是一个我们熟悉的四面体,在往年的高考数学中已经出现多次:
2016年文数全国卷A题18
2019年理数全国卷A题12
「熟悉模型的特征,再联系以往的经验」 ,问题2的解答就不再困难了。