首先更正一下，朱元璋废除掉的是丞相制而不是宰相制。
秦朝建立后，秦始皇设立了丞相制度，汉代保留了下来。从秦朝到明朝，丞相制度流传了一千多年。一个制度能够流传这么久，必然是有他它存在的道理的。
那么为什么到了朱元璋这就把它给废除了呢？因为朱元璋想强化皇权，加强皇帝的权威。
丞相的设立和发展
丞相制度在秦朝的时候设立，到明朝时已经经过了长时间的发展。
秦始皇兼并六国后，设立了三公九卿。“三公”指的是什么？丞相、御史大夫、太尉。三公各有各的任务：丞相统领百官，协助皇帝处理政务，杂七杂八的事情都是丞相来对付的；太尉负责管理军事方面的事情，兵马、器械、军粮等等都是太尉的事情；御史大夫负责监察百官。
三公之间谁也不能管谁，直接归皇帝管理，加强了皇权。
到了唐代，发展成了三省六部制，三省分别是尚书省、中书省、门下省。他们之间是怎么分工合作的呢？
皇帝要实施一项新的政策，从政策的草拟，到确定，再到最终实施，离不开三省的分工合作。中书省负责起草文案，根据皇帝的旨意来拟定政策。好，拟定完了后，交给门下省来审议，看尚书省拟定的政策是不是合理，是不是符合规定。门下省审核通过后，再交给尚书省，由尚书省来负责执行实施。
在三省六部制中，我们可以看到，三省之间是分工合作的关系，同时也起到了相互制约的关系。三省之间互相牵制，避免了权力过于集中，间接的加强了皇权。
丞相制从设立之后，它的大趋势是在不断的分权，避免权力过大，唐朝的三省六部制就很好的体现了这一点。不过到了元朝，出现了不同的情况，中书省的权力得到了大幅的提高，甚至可以说是一家独大，可以说是“上承天子，下管六部及百官。”。到了这个时候，丞相的权力就变得很重了。
明朝继承了元朝的官制。
明朝建立之后，采用了元朝的官制，也就是说中书省依然是一家独大，相权依然过重。
相权的过重，是导致朱元璋要废除丞相制的原因。
为何呢？我们从朱元璋的经历可以看出来原因。朱元璋一生可谓是酸甜苦辣都品尝过的，他当过乞丐，做过和尚，当过大帅，最后还当了皇上。
在朱元璋当大帅之前，他一直是个没什么地位的人，而一个没有地位的人在得到巨大权力之后，通常都会非常迷恋权力，这似乎是一种通病，就好比一个穷人在得到巨款之后疯狂迷恋钱一样。
所以，朱元璋是个权利感极强的人，他自然不愿意自己的权利受到别人的影响。于是，朱元璋就借着胡惟庸案来将丞相给废除掉。表面上看，朱元璋废除丞相制是因为胡惟庸作乱，但实际上根本的原因是朱元璋想强化皇权，加强皇帝的权威。
丞相的优缺点
讲了这么多，我们来分析下丞相的优点和缺点。
丞相最大的作用就是协助皇帝做事，丞相最初设立的目的就在于此。作为百官之首，丞相能够代替皇帝处理很多事情，分担皇帝的压力。
那么大一个国家，有一大堆的事情，总不可能全部由皇帝来做吧？设立丞相，让他负责一部分事情，减轻自己的压力，更好的治理国家，这就是丞相最大的作用。萧何、诸葛亮、房玄龄、魏征......这些有名的丞相无一不说明了这一点。
缺点在哪呢？既然从皇帝那分到一部分权力，万一这“一部分”越变越多呢？那将在某种程度上架空皇权，东汉末年的曹操和汉献帝之间就是很好的例子。
从丞相制的设立到废除，你看出了什么？
其实，无论是设立丞相制，还是废除丞相制，最原始的目的都是为了皇帝的统治，都是为了皇权。
当我觉得需要有丞相来辅助的时候，我就设立个丞相来帮助我；当我觉得丞相没用了或者说不那么有必要了，我就废除掉它。所以，废不废除丞相制本质上还是为了维护君主的统治，是为了皇权的需要。