某村欲修建一横截面为等腰梯形的水渠，为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面。

Question

接上，若水渠横截面面积设计为定值m，渠深8米。则水渠壁的倾角a应为多少时，方能使修建的成本最低。（请用高一的知识解答）

Answer 1

解：设水渠横断面的底边长a，水渠壁的倾斜角（与水平面）为α，则水渠横断面面积
m=(2a+2hcosα/sinα)h/2
得a=m/h-hcosα/sinα
水渠横断面中与水接触的渠壁长度L为：
L(α)=a+2h/sinα= m/h-hcosα/sinα+2h/sinα
=m/h+h(2-cosα)/sinα
对α求导，
dL/dα=[h/( sinαsinα)](1-2cosα)
当dL/dα=0时L(α)有最小值，故
1-2cosα=0
得α=60°
所以，当水渠壁的倾斜角为60°时，方能使修建的成本最低