尺规不能三分角证明

Question

如题所述

Answer 1

浅显一点的说，是这样的逻辑。
不知道您这是哪个阶段的题目，可以大略告诉您步骤。用尺规作图的根本难点在于没有刻度。
其实每一个尺规作图的问题我们都可以转化为一个“已知……，求……”的数学问题。比如，已知任意线段ab，求ab/2；既评分线段尺规作图，可以证明尺规完全无法做出2次方以上的运算。
本题，既是已知任意角ABC，求三分之角ABC。根据三角函数可知，任意角的三分三角函数需用到三次方运算，所以尺规无法达到。

复杂的做法有伽罗瓦理论
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%BD%E7%BE%85%E7%93%A6%E7%90%86%E8%AB%96追答

还有一种说法。
CS | 2010-07-14 22:13:55
尺规作图三等分任意角不可能。
证明大意是：

1）几何问题代数化。三等分角就相当于在单位圆上求做一定长度的线段，利用三角函数，把线段长度表示出来。可以得到
cos(3θ) = 4 cos³θ - 3 cosθ
其中已知cos(3θ)，从而就相当于用解三次方程（用尺规做出三次方程的实根）
4 x^3 - 3 x - a = 0

2）证明上述三次方程的实根不在有理数域Q的二次扩域内。

3）证明给定单位1，尺规作图能且只能解一次或二次方程，即只能做出Q的二次扩域内的元素。事实上，尺规作图只能作圆（二次方程）和直线（一次方程）的交点，从而解都在Q的二次扩域上。

可参考任何抽象代数的书籍。