泰勒公式的推导过程是什么?

Question

如题所述

Answer 1

泰勒公式
泰勒公式（Taylor's formula） 　　带Peano余项的Taylor公式（Maclaurin公式）：可以反复利用L'Hospital法则来推导, 　　f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n) 　　泰勒中值定理（带拉格郎日余项的泰勒公式）：若函数f(x)在含有x的开区间（a,b）有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和： 　　f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn(x) 　　其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间,该余项称为拉格朗日型的余项. 　　（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数,不是f(n)与x.的相乘.） 　　使用Taylor公式的条件是：f(x)n阶可导.其中o((x-x0)^n)表示n阶无穷小. 　　Taylor公式最典型的应用就是求任意函数的近似值.Taylor公式还可以求等价无穷小,证明不等式,求极限等