急~高中数学 已知椭圆C的方程为：x²/a²+y²/2=1(a＞0），其焦点在x轴上

Question

急~高中数学 已知椭圆C的方程为：x²/a²+y²/2=1(a＞0），其焦点在x轴上，离心率e=（根号2）/2：
①：求椭圆标准方程
②：设动点P（Xo,Yo)满足向量OP=向量OM+2向量ON，其中M,N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为-1/2，求证：Xo²+2Yo²为定值

麻烦有详细过程 急用
谢谢~~

Answer 1

(1) e=c/a=根号2/2,即有1-b^2/a^2=1/2, b^2=2, 解得a^2=4
∴椭圆方程为：x^2/4+y^2/2=1
(2) 设向量OP=(x0,y0), 向量OM=(x1,y1), 向量ON=(x2,y2)
∵向量OP=向量OM+2向量ON
∴x0=x1+2x2, y0=y1+2y2
又∵点M,N在椭圆C上，∴有：
x1^2+2y1^2=4, x2^2+2y2^2=4
又k(OM)*k(ON)=y1/x1*y2/x2=-1/2
∴x1x2+2y1y2=0
∴x0^2+2y0^2
=(x1+2x2)^2+2(y1+2y2)^2
=(x1^2+4x1x2+4x2^2)+2(y1^2+4y1y2+4y2^2)
=(x1^2+2y1^2)+4(x1x2+2y1y2)+4(x2^2+2y2^2)
=4+4*4+4*0
=20
即x0^2+2y0^2为定值