设A为nxn矩阵且A平方等于A证明秩A+秩（A–E）=n

如题所述

第1个回答 2013-12-11

因为A^2=A
故A（A-E）=0
故我们有
rank（A）+rank（A-E）<=n (这个也是北大版高代上面的一个练习题，即若AB=0,那么rank（A）+rank（B）<=n，这个可以把B看做A这个线性方程组的解，由基础解系可得的，易证）

另外我们有
n=rank(E)=rank（E-A+A）<=rank(E-A)+rank(A)
注意到rank（A-E）=rank(E-A)，因为这两者的差别仅仅是一个系数
故我们又有
n<=rank(A-E)+rank(A)

综合两方面，我们得到了rank（A-E)+rank（A）=n追问

怎么想到的？

证明秩思路都有哪些

追答

矩阵相减。转化为相乘，等号的右边为0
然后再根据乘积的特点去判断秩

追问

高等代数204页12题怎么做

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