一道数学证明题，我的数学能力只限在八年级上册，所以不要用超出我能力范围的知识来解释

Question

如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP= 2，Q为CD中点，求证：①∠PBC=∠PQD

Answer 1

连接BQ
∵ABCD是正方形，且AC是对角线
∴∠BCD=∠BCQ=90°，∠ACB=∠ACD=45°
∵PQ⊥BP，即∠BPQ=90°
∴∠BPQ+∠BCQ=180°
∴P、B、C、Q四点共圆
∴∠PBQ=∠ACD=45°
∠PQB=∠ACB=45°
∴∠PBQ=∠PQB
∴△PBQ是等腰直角三角形
∴BP=PQ设边长为a，过P作出现PE交BC于E,则PC=a*根号2-2根号2

因为CPE是等腰直角三角形，所以CE=PE=（1/2根号2）PC=a-2
BE=a-CE=2
PB=根号(PE^2+2^2)=根号[(a-2)^2+4]

BQ=根号(a^2+25)

过Q作QF垂直PE于F，则PF=PE-QC=a-2-5=a-7

PQ=根号（QF^2+PF^2)=根号[(a-7)^2+(a-2)^2]

在直角三角形PQB中，PQ^2+PB^2=BQ^2

（a-7)^2+(a-2)^2+(a-2)^2+4=a^2+25
3a^2-22a+61=a^2+25
a^2-11a+18=0
(a-2)(a-9)=0
a=2(不合理，舍弃）或a=9

因此正方形ABCD面积为a^2=81

Answer 2

证明：过点P作MN⊥BC，交BC于M，交AD于N，过点P作EF⊥CD，交AB于E，CD于F
设对角线AC、BD交于O
∵正方形ABCD
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD
∴∠PBO+∠BPO＝90
∵BP⊥PQ
∴∠QPC+∠BPO＝90
∴∠QPC＝∠PBO
∵∠PBC＝∠PBO+∠OBC，∠PQD＝∠QPC+∠OCD，∠OBC＝∠OCD
C＝∠PQD设边长为a，过P作出现PE交BC于E,则PC=a*根号2-2根号2

因为CPE是等腰直角三角形，所以CE=PE=（1/2根号2）PC=a-2
BE=a-CE=2
PB=根号(PE^2+2^2)=根号[(a-2)^2+4]

BQ=根号(a^2+25)

过Q作QF垂直PE于F，则PF=PE-QC=a-2-5=a-7

PQ=根号（QF^2+PF^2)=根号[(a-7)^2+(a-2)^2]

在直角三角形PQB中，PQ^2+PB^2=BQ^2

（a-7)^2+(a-2)^2+(a-2)^2+4=a^2+25
3a^2-22a+61=a^2+25
a^2-11a+18=0
(a-2)(a-9)=0
a=2(不合理，舍弃）或a=9

因此正方形ABCD面积为a^2=81

Answer 3

证明：过点P作MN⊥BC，交BC于M，交AD于N，过点P作EF⊥CD，交AB于E，CD于F
设对角线AC、BD交于O
∵正方形ABCD
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD
∴∠PBO+∠BPO＝90
∵BP⊥PQ
∴∠QPC+∠BPO＝90
∴∠QPC＝∠PBO
∵∠PBC＝∠PBO+∠OBC，∠PQD＝∠QPC+∠OCD，∠OBC＝∠OCD
∴∠PBC＝∠PQD追问

我要另一种方法，就是我们老师讲要连接PD，接下来我就忘了

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