等比数列前N项和，数学？

Question

请问①到②是怎么变的呢

Answer 1

等比数列求和公式
(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N).
(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)；
推广式：an=am×q^(n-m)；
(3) 求和公式：Sn=n×a1 (q=1)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1) (q为公比,n为项数）

Answer 2

Answer 3

2.5 等比数列的前n项和
一般地，对于等比数列
1,2,3,…,,…,
a
1
,
a
2
,
a
3
,
…
,
a
n
,
…
,
它的前
n
项和是
=1+2+3+…+.
S
n
=
a
1
+
a
2
+
a
3
+
…
+
a
n
.
根据等比数列的通项公式，上式可写成
=1+1+12+…+1−1. ①
S
n
=
a
1
+
a
1
q
+
a
1
q
2
+
…
+
a
1
q
n
−
1
.

①
我们发现，如果用比
q
乘①的两边，可得
=1+12+…+1−1+1−1, ②
q
S
n
=
a
1
q
+
a
1
q
2
+
…
+
a
1
q
n
−
1
+
a
1
q
n
−
1
,

②
① ②的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，得
(1−)=1−1.
(
1
−
q
)
S
n
=
a
1
−
a
1
q
n
.
当≠1
q
≠
1
时，等 比数列的前
n
项和的公式为
=1(1−)1− (≠1).
S
n
=
a
1
(
1
−
q
n
)
1
−
q

(
q
≠
1
)
.
因为=1−1
a
n
=
a
1
q
n
−
1
，所以上面的公式还可以写成
=1−1− (≠1).
S
n
=
a
1
−
a
n
q
1
−
q

(
q
≠
1
)
.
分类: 数学5