什么是初等函数，什么是高等函数？

Question

劳驾举例说明。

Answer 1

初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。至今未听说有高等函数这个概念。

实系数多项式称为整有理函数。其中最简单的是线性函数y=α0+α1x，它的图象是过y轴上y=α0点的斜率为α1的直线。二次整有理函数y=α0+α1x+α2x2的图象为抛物线。

复变三角函数：

例如将y=sinx和y=cosx中变量x换为复变量z，则得到复变三角函数w=sinz和w=cosz，它们是整函数。tanz=sinz/cosz，cotz=cosz/sinz等是z的亚纯函数。

它们具有实三角函数的很多类似性质：周期性、微商性质、三角恒等式等。但|sinz|≤1，|cosz|≤1不是对任何z都成立。三角函数与指数函数密切联系，因此应用时很方便。sinz的单叶性区域将Gk单叶并共形地映为全平面上除去实轴上线段[-1，1]和负虚轴后得到的区域。

Answer 2

基本初等函数：多项式函数，有理分式，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数

初等函数是基本初等函数经过有限次四则运算和复合而成的函数。

高等函数是一种非专业的叫法，意思是：凡是不能表示成初等函数的就叫高等函数

初等函数的例子： f(x)=c,高中学的那些都是
高等函数的例子： 迪利克莱函数f(x)=1,当x是有理数;f(x)=0,x是无理数。大学会接触很多这类函数

Answer 3

初等函数：最常用的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。

至今未听说有高等函数这个概念，高等数学倒是有

参考资料：http://baike.baidu.com/view/46323.htm

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