曲面xy+yz+zx=0上平行于平面x+2y+3z=2的切平面方程

Question

如题所述

Answer 1

先求出已知平面的法向量：（1，2，3）
再根据曲面方程F（x，y，z）=xy+yz+zx=0，求出切平面法向量n的一般表达式：
∂F/∂x=y+z
∂F/∂y=x+z
∂F/∂z=y+x
n=（y+z，x+z，y+x）
若二者平行，则其法向量应当平行，即：
n=（y+z，x+z，y+x）=λ（1，2，3）【λ为非零实数】
另外坐标还必须满足曲线方程：xy+yz+zx=0
综上得到四元方程组：
①：y+z=λ
②：x+z=2λ
③：y+x=3λ
④：xy+yz+zx=0
③-②得到：y-z=λ
结合①解得：y=λ，z=0。再代入②解得：x=2λ
将这些结果代入④，解得：λ=0，与题设矛盾，不成立。故不存在这样的切平面。题目无解。