带电金属球

Question

一个半径为R的实心金属球的球心处场强和电势是多少？为什么？麻烦仔细解释一下吧！

Answer 1

你应该还告诉我带电量为Q吧……
1。场强为0，因为场强是有方向的，假如实心金属球带电的话，由于电子之间的斥力作用，电子会分散在金属球表面，而且是平均分布。而电场是有方向（矢量），各个方向的场强相互抵消，于是场强是0。在圆心处很容易理解，在非圆心处你可以稍微画一画图，根据比例关系得出结果（同时要注意，图上你可能只画一个圆代表球，但应该用圆弧长度的平方来代表电量）
2。由于场强为0，所以球体内电势处处相等。因此你可以计算圆心处的电势大小，也就是球体内各处电势大小。

Answer 2

场强为0，这点很好理解，我就不说了。我们来讨论电势的问题吧。
设球上电荷的密度为p,半径为R
我们取一块半径为r的球壳，它的厚度很小，为d。那么这个球壳在球心处的产生的电势为（我因为打不出圆周率的符号，所以用3.14代替）：4×3.14×r^2×d×k×p/r=4×3.14×r×d×k×p
若我们把所有球壳在球心处产生的电势叠加起来，就等同于给E关于r的函数E=4×3.14×r×k×p在区间0到R上做积分（厚度d就相当于给函数做积分的时候X轴上每一小段的长度）。
那么，根据积分公式，这个函数的原函数就是：
E'=f(r)=2×3.14×r^2×k×p
f(R)-f(0)就是所求的电势，等于2×3.14×R^2×k×p
如果题目里面没有给出电荷密度，只给出总电量Q，你也可以用电量Q来代换密度p,p=Q/球的体积

Answer 3

1.设金属球带电量为Q，根据静电平衡的道理其内部场强处处为零，所以球心处场强也必然为零。
2.金属球是一个等势体，由于均匀带电可以看成是电量集中于球心的点电荷，以无穷远处电势为零，距点电荷为r处电势φ=kQ/r,设球半径为R,则球面处电势为φ=kQ/R,自然球心处的电势也是这个值了。（φ=kQ/r是用微积分得出的，这里不去证明了）