椭圆上一点绕着椭圆的一个平行轴旋转后的图形是什么图形

Question

如题所述

Answer 1

曲线方程为 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中 a > b > 0。
绕 z 轴旋转后，可以使用参数方程来表示旋转得到的曲面：
x = m z cos(t)
y = m z sin(t)
z = z
其中 t 是沿着 x 轴的旋转角度，取值范围为 [0, 2π]。
将 x 和 y 带入曲线方程中，得到：
(m z cos(t))^2 / a^2 + (m z sin(t))^2 / b^2 = 1
整理后，得到：
(m^2 / a^2) cos^2(t) + (m^2 / b^2) sin^2(t) = 1 - (z^2 / a^2)
再将 z^2 / a^2 移项，得到：
(m^2 / a^2 - z^2 / a^2) cos^2(t) + (m^2 / b^2 - z^2 / a^2) sin^2(t) = 1
因为 a > b > 0，所以 m^2 / a^2 > m^2 / b^2，因此取 a^2 作为分母更方便。
将 m^2 / a^2 和 m^2 / b^2 替换成 k1 和 k2，得到：
(k1 - z^2 / a^2) cos^2(t) + (k2 - z^2 / a^2) sin^2(t) = 1
这是一个二次曲面的方程，是一个椭球体，其长轴在 z 轴上，短轴在 xy 平面上，中心在原点。