基本函数的求导公式 证明

Question

如题所述

Answer 1

y'=dy/dx=lim[f(x+Δx)-f(x)]/Δx（其中Δx→0）

Δ(f+g)=Δf+Δg,所以(f+g)'=f'+g'.Δ(fg)=(f+Δf)(g+Δg)-fg=fΔg+gΔf+ΔfΔg,所以(fg)'=f'g+fg'.Δ(f/g)=(f+Δf)/(g+Δg)-fg=(gΔf-fΔg)/g(g+Δg)因此(f/g)'=(f'g-fg')/g^2.对于h=g(f(x)),令u=f(x).则Δh=g(u+Δu)-g(u)=Δg/Δu*Δu/Δx.因此h'=g'(f(x))f'(x).

而二项式定理知(x+Δx)^n=x^n+nx^(n-1)Δx+……(以后的项都是包含了Δx的高次项）因此(x^n)'=nx^(n-1).

（当然也可以通过数学归纳法和乘法求导公式推得）

Δ(e^x)=(e^Δx-1)e^x.又有极限公式e=lim(1+Δx)^(1/Δx)(Δx→0).因此当Δx→0时e^Δx-1与Δx是等价无穷小量，因此(e^x)'=e^x.而a^x=e^u,其中u=xlna.因此(a^x)'=d(e^u)/du*du/dx=e^u*lna=a^xlna.

对于y=lnx,有e^y=x.由复合函数求导法则有(e^y)'=e^y*y'=(x)'=1,所以y'=e^(-y)=1/x.对于其他底数的对数用换底公式。

Δ(sinx)=sin(x+Δx)-sinx=2sin(Δx/2)cos(x+Δx/2).又limsinx/x=1(当x→0时)，因此Δx→0时,sin(Δx/2)/Δx→1/2.于是(sinx)'=cosx.注意到cosx=sin(π/2-x)，tanx=sinx/cosx,cotx=cosx/sinx,secx=1/cosx,cscx=1/sinx用四则运算公式求出来。

设g和f互为反函数，而y=g(x).则x=f(y).1=f'(y)*y',y'=1/f'(y).因此对于y=arcsinx,x=siny.f'(y)=cosy=√(1-sin²y)=√(1-x^2)(因为y∈(-π/2,π/2)，所以根号取正值）.因此(arcsinx)'=1/√(1-x^2).而arcsinx+arccosx=π/2,

方法都介绍了其他的你可以自己推

Answer 2

这些都是基本函数的求导，分别在高等数学的教科书中的导数的概念，基本函数的求导，反函数和复合函数的求导法则的相关章节中有详细的推导过程和结论，自己找来看一下吧。基本概念，很容易理解。