难题，求助真心帮忙的大师们！如图所示：在等边ΔABC中，D是AB边的中点，E是BC边上一点，ΔDE

Question

难题，求助真心帮忙的大师们！如图所示：在等边ΔABC中，D是AB边的中点，E是BC边上一点，ΔDEF是等边三角形，连接AF，CF。⑴，求证：CF=EF。⑵，若∠BAF=90°，CE=1，求BE=？

Answer 1

1

连接CD，得△CDE。

在等边△ABC中，因为D为AB中点，所以CD平分∠ACB。∠DCE = ∠ACB/2 = 30°

过F，做FG垂直DE于G。

在等边△DEF中，因为FG垂直DE，因此FG为DE垂直平分线。

因为 F在DE垂直平分线上 且 ∠DCE = 30° = ∠DFE/2，所以F为CDE外接圆圆心。

(1. 同弦圆心角 = 圆周角的两倍  2. 外心为垂直平分线交点)

因为FE & FC 为圆F的半径，所以 FE = FC 

2.

过A & D 分别作AI & DH垂直BC，其垂足分别为I & H。

因为△ABC为等边三角形 且 AI⊥BC，所以AI垂直平分BC。 => BI = BC/2

因为 ∠ADF + 60° + ∠BDE = 180° (平角) & ∠BED + 60° + ∠BDE = 180° (△BDE内角和)，所以 ∠ADF = ∠BED。

因为 ∠ADF = ∠BED & ∠DAF = ∠DHE = 90° & DF = DE，所以△ADF ≌ △HED

=> HE = AD = AB/2 = BC/2

因为 DH⊥BC，AI⊥BC，因此DH ∥ AI。

△ABI中，因为D为AB中点，DH ∥ AI，所以BH = BI/2 = BC/4.

BC = CE + HE + BH = 1 + BC/2 + BC/4

BC = 4

BE = 4 - 1 = 3

Answer 2

解：过点A作AH⊥BC于H，连接AD
∵等边△ABC
∴AB＝AC＝BC
∵DE⊥AB，DF⊥AC，AH⊥BC
∴S△ABD＝AB×DE/2, S△ACD＝AC×DF/2，S△ABC＝BC×AH/2
∵S△ABD+ S△ACD＝S△ABC
∴AB×DE/2+ AC×DF/2＝BC×AH/2
∴DE+DF＝AH＝2
好评，，谢谢追问

你答的是什么题啊！

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Answer 3

追答

上面是第一问的另外一种方法

Answer 4

写错了

Answer 5

楼楼这是什么题？高中还是初中？追问

初三的！

追答

额，待我学完这年再来给楼楼解答好了……扫瑞~