一道高中数学填空题求教

Question

当x属于（0,2），不等式a^x<-x^2+3x+1恒成立（a>0,且a不等于1,），则a的取值范围为

Answer 1

设f(x)=-x^2+3x+1
f(x)=-x^2+3x+1
=-(x-3/2)^2+13/4

f(0)=1；f(2)=3
f(x)=-x^2+3x+1的图像开口向下，顶点（3/2 ，13/4）
且经过点（0，1）、（2，3）

①若0<a<1，显然当x∈（0,2）时，g(x)=a^x 递减
所以a^x<-x^2+3x+1恒成立

②若a>1，x∈（0,2）时，g(x)=a^x 递增，
要使a^x<-x^2+3x+1恒成立，则只需g(2)≤3即可
所以a^2≤3
于是：1<a≤根号3

综上：0<a<1或1<a≤根号3

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Answer 2

-x^2+3x+1和a^x在（0,2）上的图象为：

黑色的是二次函数，蓝色的是指数函数。所以由图有a^2<-2*2+3*2+1,得到a大于0小于根号三。

Answer 3

我眼花缭乱…