高二数学椭圆

Question

已知椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y-1=0交于A，B两点，M为线段AB中点，且直线OM的斜率为1/4
(1)求椭圆的离心率
(2)若椭圆的一个焦点到椭圆上一点的距离的最小值为2-√3，且椭圆上有一点P与A,B构成三角形，试求△PAB面积的最大值

Answer 1

已知椭圆方程x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)与直线x+y-1=0交于A，B两点，M为线段AB中点，且直线OM的斜率为1/4 ；(1)求椭圆的离心率 ；(2)若椭圆的一个焦点到椭圆上一点的距离的最小值为2-√3，且椭圆上有一点P与A,B构成三角形，试求△PAB面积的最大值。
解：(1)。将直线方程y=-x+1代入椭圆方程得：
b²x²+a²(-x+1)²-a²b²=0；展开，整理得：
(a²+b²)x²-2a²x+a²(1-b²)=0
设A(x₁，y₁)；B(x₂，y₂)；则：
x₁+x₂=(2a²)/(a²+b²)
x₁x₂=a²(1-b²)/(a²+b²)
y₁+y₂=-x₁+1-x₂+1=-(x₁+x₂)+2=-(2a²)/(a²+b²)+2=(2b²)/(a²+b²)
AB中点M((x₁+x₂)/2，(y₁+y₂)/2)=(a²/(a²+b²)，(b²)/(a²+b²))；
已知KOM=[(b²)/(a²+b²)]/[a²/(a²+b²)]=b²/a²=1/4；
离心率e²=c²/a²=(a²-b²)/a²=1-(b²/a²)=1-1/4=3/4，故e=√3/2.
(2)。a-c=a-ae=a(1-e)=2-√3，故a=(2-√3)/(1-√3/2)=2，c=ae=2×(√3/2)=√3，b²=4-3=1;
故椭圆方程为x²/4+y²=1；此时：
x₁+x₂=8/5；y₁+y₂=2/5；
∣AB∣=√{2[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]}=√[2(64/25-8/5)]=√(48/25)=(4/5)√3
设椭圆上的点P的坐标为(2cost，sint)；点P到直线x+y-1=0的距离就是△PAB的高h，
h=∣2cost+sint-1∣/√2；当h最大时△PAB的面积必然最大。下面求h的最大值：
2cost+sint=1±(√2)h，为求h的最大值，应取2cost+sint=1-(√2)h
令tanφ=2，则有tanφcost+sint=(1/cosφ)[costsinφ+sintcosφ]=(√5)sin(t+φ)=1-(√2)h
故[1-(√2)h]=-√5，即hmax=[(√5)+1]/√2；
故maxS△PAB=(1/2)×[(4/5)√3]×{[(√5)+1]/√2}=(√30+√6)/5

Answer 2

设A(x1,y1) B(x2,y2)

(1)x1^2/a^2+y1^2/b^2=1

(2)x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
(3)x1+y1-1=0
(4)x2+y2-1=0
(5)(y2-y1)/(x2-x1)=-1 (AB直线的斜率)

M=((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)

k=(y1+y2)/(x1+x2)=1/4
(1)-(2)
(x1-x2)(x1+x2)/a^2+(y1-y2)(y1+y2)/b^2=0
a^2/b^2=-(x1-x2)(x1+x2)/[(y1-y2)(y1+y2)]=-(-1)*4=4
a/b=2
c^2=a^2-b^2=3b^2
c=(根号3)b

离心率e=c/a=(根号3)/2
-------------------------------------------
离焦点最近的点是长轴端点
所以a-c=2-根号3
[1-(根号3)/2]a=2-根号3
a=2
b=1
c=根号3

S△PAB要最大即需要AB上的高最长
即只需画AB的平行线，然后找到和椭圆相切的离得更远的那一条直线和椭圆的切点即为所求的P
y=-x+b
看图，我们需要b<1的解
x^2/a^2+y^2/b^2=1
我们知道
(x0,y0)的切线为
x0*x/4+y0*y/1=1
斜率=-x0/(4y0)=-1
x0=4y0
代入
x0^2/4+y0^2/1=1
5y0^2=1
y0=1/根号5
x0=4/根号5
x0+y0=根号5
即过P与Ab平行的直线为x+y=根号5
AB: x+y=1

所以AB上的高=两直线距离=(根号5-1)/根号(1^2+1^2)=(根号5-1)/根号2
AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
=2(x1-x2)^2
x+y-1=0
代入
x^2/4+y^2=1
x^2/4+(1-x)^2=1
5x^2/4-2x=0
x=0,8/5
(x1-x2)^2=64/25
AB=(8/5)根号2
S△PAB=(8/5)根号2*(根号5-1)/根号2/2
=(4/5)(根号5-1)