证明:N个数的代数平均数大于等于其几何平均数

Question

证明:N个数的代数平均数大于等于其几何平均数

即,

(a+b+c+...+n)/n>=n次根号下a*b*c*...*n

请各位高人帮忙证明一下,或者告诉我哪个网站有讲解,十分感谢

还要问一下,这个不等式是不是叫柯西不等式?这个不等式和微积分中的柯西定理有没有关系?

我看过一种柯西不等式,是说a,b,c,d四个数的一个不等式,好像和我问的这个不一样

Answer 1

这个题目可以用拉格朗日乘数法解，具体步骤如下：
所求函数为y=n次根号x1*x2*x3*...*xn的最值，其限制条件为x1+x2+...+xn=a（常数）
作拉格朗日辅助函数F=n次根号x1*x2*x3*...*xn+λ(x1+...+xn)
该函数分别对各项x1,x2,等求偏导，令它们分别等于零：
1/n * n次根号(x2*x3*...*xn) * x1的1/n-1次方+λ=0
…………
…………
以上n式联立就可得到当x1=x2=...=xn=a/n时y取得极值，算得极值为a/n，即
(x1+...+xn)/n

另外，这个不等式叫平均值不等式，不是柯西不等式。柯西-瓦尔茨不等式一般的线性代数教材应该有讲，并且它与柯西定理没有关系。一般教材是多变量的微分学那一章讲述这个算法。

顺便说下你说的那个柯西不等式，有个很方便简单的推导，用向量证明：
设向量a=(x1,x2,...,xn),b=(y1,y2,...yn)
a点乘b<=|a||b|
两边平方便可证明柯西不等式：
(x1y1+x2y2+...xnyn)的平方<=(x1平方+...+xn平方)(y1平方+...+yn平方)

参考资料：随便哪本多变量微积分教材，我学的是中国科大出版社的那个版本

Answer 2

方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法等等。
这个不等式叫平均值不等式，记为An≥Gn

Answer 3

这个不等式不是柯西不等式。