已知2x^2+3y^2<=6,求证x+2y<=根号11

Question

用柯西不等式

Answer 1

以下是柯西不等式:

括号比较多,可能看得有点眼花:
(x + 2y)^2
<= [2x^2 + 3y^2][(1/根号2)^2 + (2/根号3)^2]
= 6 * (1/2 + 4/3)
= 11

即x+2y<=根号11

以下是线性规划:

设 z=x+2y ,
则 y = -x/2 + z/2 ,
这里将 z 看作参数, y 是 x 的函数,
从代数上看就是求在条件2x^2+3y^2<=6下,z的最大值,
从几何上看就是求在定椭圆与直线簇有交点的情况下,直线簇的最大截距...
那求出斜率为 -1/2 的 椭圆的切线 的截距最大值就是z的最大值咯...
将y = -x/2 + z/2 带入 2x^2+3y^2=6,
得 11x^2 + 6zx + 3z^2 -24 =0,
另判别式 36z^2 - 4*11*(3z^2 -24) = 0,
得 z^2 = 11
可知 -根号11<= z <= 根号11,
即x+2y<=根号11

Answer 2

2x^2+3y^2<=6
所以xx/3+yy/2<=1
令x/根号3=cosa
y/根号2=sina
则x+2y=（根号3）cosa+2（根号2）sina<根号(（根号3）^2+(2（根号2）)^2)=根号11。

Answer 3

2x^2+3y^2<=6为一椭圆内部的点，而后用线性规划+导数可以做
过程不想写了~思路如此！
用柯西的话配一下就好了，很经典的方法，也不想写了，关键就是两边配上挂上关系就行了~