并非所有无穷大都等同什么意思存不存在比无穷大还大的数

Question

假设一个无限延伸的长方体和一个无穷大的圆能比较大小吗

Answer 1

无穷大这个概念本质上是变量，任何一个常数，只要给定了，不论多么大都不是无穷大。两个数可以比较大小，但这种意义下的大小对于两个无穷大量来说是没有意义的。两个无穷大量只能比较它的阶，而不能比大小，可以说一个无穷大比另一个无穷大高阶，而不能说一个无穷大比另一个无穷大还大。比较无穷大的阶直观意义上就是比较无穷大作为变量其增大速度的快慢。例如当x趋于∞时，x和x^2都是无穷大量，但x^2明显比x增大要快（例如x增大10倍时x^2增大了100倍），因此说这一极限过程中x^2是比x更高阶的无穷大。另外你的假设是没有意义的，长方体和圆，你是比什么，前者的度量是体积，后者是面积，没有可比性。