关于二维正态分布和一维正态分布的联系的问题

Question

求答案求解析~是不是选D啊我现在搞不清。是不是X,Y相互独立且都服从正态分布，则（X,Y）服从二维正态分布。而（X,Y）服从二维正态分布，则X,Y都服从正态分布而不一定相互独立？我看网上还有的说（X,Y）服从二维正态分布，则aX+bY也服从正态分布，由前者应该推不出X,Y相互独立啊,怎么直接就能得出aX+bY服从正态分布的结论，不应该是X和Y服从正态分布且相互独立才能推出来aX+bY服从正态分布吗？彻底凌乱了！求解救！

Answer 1

这个题目的答案是D

问题一：X,Y相互独立且都服从正态分布，则（X,Y）服从二维正态分布。首先这个是对的，但是只是充分条件，不一定都要独立才符合。只要加入ρ这个联合的紧密程度就行了，独立就是没有紧密程度ρ=0，所以也符合。故B和C对。

有人问为什么C也对。C不就是少了B的一个条件吗，就不知道是否独立嘛。问题一不是说了是否独立不重要吗。题目条件没有提到ρ当然是说“不一定”啦。

问题二：而（X,Y）服从二维正态分布，则X,Y都服从正态分布而不一定相互独立？这一句的前半句X,Y都服从正态分布，是对的，因为二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布的形式，因此A是对的。现在再考察后一句而不一定相互独立，X和Y相互独立的充要条件是参数ρ=0，由于没有条件推导不出，不能确定是否独立。

书本在矩和协方差矩阵中给出了4条性质。下面是截图性质的图片。

这些都是对n维成立的，对二维的当然也成立。再重点看第三条，第三条说（X,Y）服从正态分布，X和Y线性函数也服从。在题目中是X+Y是X和Y的线性函数，所以X+Y肯定是正态分布，D错了。

Answer 2

不相关只是就线性关系来说的，而相互独立是就一般关系而言的。一维正态分布里面，独立和不相关是充分不必要的关系！怎么能说独立只是ρ=0的特例？

Answer 3

我想问下C哪里对？
X+Y一定服从正态分布啊