一道经典的高中数学题

Question

已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的边长为1,求异面直线BD和B1C的距离.应该是有一种向量解法(好像还有条公式),不过我具体的不清楚了,哪位大哥能来帮忙解答下,要详细过程,如果是公式也麻烦请简单推下.说得好的或有多种解法的话我给你加分.

Answer 1

设法向量m=(1,x,y)
BD=(1,1,0) B1C=(1,0,1)
1*1+1*x+y*0=0 x=-1
1*1+0*x+1*y=0 y=-1
所以 m=(1,-1,-1)
异面直线公式:点B属于BD 点B1属于B1C
BB1=(0,0,1)
距离d=|(BB1*M)|/|M|
即:1/根号3 为:3分之根号3
即求

Answer 2

找出一个根BD,B1C都垂直的直线，然后列方程组使它同时过BD,B1C，得出两个交点，求距离就行了

Answer 3

我那时没学向量法，跟你说说几何方法吧
1.求异面直线线线距要转化成线面距
2.求线面距要转化成点面距

BD平行于面B1CD1，所以BD到B1C的距离即BD上一点到面B1CD1的距离
取BD中点E，求E到B1CD1的距离
可用等体积变换做V(E-B1CD1)=V(D1-EBC)求得E到B1CD1的距离

Answer 4

是很经典。我不知道向量怎么解。高中时我学向量少。不过我知道一种解法。
连接A1B、A1D、B1D1、D1C、AC1，AC1与面A1BD、面CB1D1分别交于E、F两点
由线段平行可以得出两个面平行。
所以两线的距离就是两个面的距离。
然后再可以证EF与两个面分别垂直，把两个面的距离转化为线上的距离即为EF。
AE的长度可以用棱锥体AA1BD的体积除以等边三角形A1BD的面积得出3分之根号3
同理C1F的长度也是一样．
AC1的为正方体的对角线为根号3
所以两异面直线的距离为3分之根号3
（总本思路是先把两异面直线的距离转化为两平行面的距离，然后把两平行面的距离转化为线段的长度，最后得出结果）