共线向量为什么系数和为1？

Question

如题所述

Answer 1

原因：

若A、B、C三点共线,O为线外一点，则OB=aOA+bOC，OA、OB、OC为向量中，a+b=1。若A、B、C、D三点共面，O为面外一点，则OB=aOA+bOC+cOD，OA、OB、OC为向量，a+b+c=1。

共线向量一般指平行向量，是指方向相同或相反的非零向量，零向量与任意向量平行。相等的向量一定平行，但是平行的向量并不一定相等。

两个向量相等并不一定这两个向量一定要重合。只用这两个向量长度相等且方向相同即可。其中“方向相同”就包含着向量平行的含义。

拓展：

设A、B、C三点共线，O是平面内任一点。

因为A、B、C共线，所以存在非零实数k，使AB=kAC。

即OB-OA=k(OC-OA)。

所以OB=kOC+(1-k)OA。

[注：两个系数和k+1-k=1]。

反之，若存在实数x，y满足x+y=1，且OA=xOB+yOC。

则OA=xOB+(1-x)OC。

OA-OC=x(OB-OC)。

所以CA=xCB。

因此，向量CA与CB共线。

又由于CA、CB有公共点C。

所以，A、B、C三点共线。