在有了极限的定义之后，为了判断具体某一数列或函数是否有极限，人们必须不断地对极限存在的
充分条件和必要条件进行探讨。在经过了许多数学家的不断努力之后，终于由法国数学家柯西（Cauchy）获得了完善的结果。下面我们将以定理的形式来叙述它，这个定理称为“
柯西收敛原理”。
定理叙述：
数列{xn}有极限的
充要条件是：对任意给定的ε>0，有一
正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε成立 >
将柯西收敛原理推广到
函数极限中则有：
函数f(x)在无穷远处有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有Z属于实数，当x,y>Z时，有|f(x)-f(y)|<ε成立 >
此外柯西收敛原理还可推广到
广义积分是否收敛，数项级数是否收敛的判别中，有较大的适用范围。
证明举例
证明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有极限
证：对于任意的m,n属于正整数，m>n
|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
当m-n为奇数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
=（1/n-1/m）→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
当m-n为偶数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
综上{xn}收敛，即{xn}存在极限